Question

有四個(gè)汽車(chē)停車(chē)場(chǎng)，位于如圖所示的四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)在要建立一個(gè)汽車(chē)維修站，你能利用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，在四邊形ABCD的內(nèi)部找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A，B，C，D四點(diǎn)的距離之和最小嗎？

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖,三角形三邊關(guān)系

專(zhuān)題：

分析：連接AC、BD相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是所要找的點(diǎn)；
取不同于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)O，連接OA、OB、OC、OD，根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可得OA+OC＞AC，OB+OD＞BD，然后結(jié)合圖形即可得到OA+OB+OC+OD＞PA+PB+PC+PD，從而可得點(diǎn)P就是所要找的四邊形ABCD內(nèi)符合要求的點(diǎn)．

解答：解：要使PA+PB+PC+PD最小，則點(diǎn)P是線段AC、BD的交點(diǎn)．
理由如下：如果存在不同于點(diǎn)P的交點(diǎn)O，連接OA、OB、OC、OD，
那么OA+OC＞AC，
即OA+OC＞PA+PC，
同理，OB+OD＞PB+PD，
∴OA+OB+OC+OD＞PA+PB+PC+PD，
即點(diǎn)P是線段AC、BD的交點(diǎn)時(shí)，PA+PB+PC+PD之和最�。�

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的任意兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，作出圖形更助于問(wèn)題的解決，本題滲透了反證法的思想，希望同學(xué)們逐漸適應(yīng)并熟練掌握．