Question

14．已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點C，拋物線的頂點為P．
（1）如圖1，連接AP，分別求出拋物線與直線AP的解析式；
（2）如圖1，點D（2，3）在拋物線上，在第一象限內(nèi)，直線AP上是否存在點E，使DE⊥EO？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，連接BC與拋物線的對稱軸交于點F，在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點G，使△GPF與△GBF的面積相等？若存在，求出點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0）、B（3，0）兩點代入y=-x²+bx+c即可求出拋物線的解析式，求出點P的坐標(biāo)，將點A、P兩點坐標(biāo)代入y=kx+b即可求出直線解析式；
（2）如圖1，假設(shè)AP上有一點E，使得DE⊥EO，作EM⊥OB，DN⊥EM，則△EMO∽△DNE，得$\frac{OM}{EN}=\frac{EM}{DN}$，設(shè)E（x，y），D（2，3），列出方程即可解決問題．
（3）設(shè)設(shè)G（m，-m²+2m+3），根據(jù)S_△GPF=S_△GFB=S_△EFG+S_△EBG-S_△EFB，列出方程即可解決問題，當(dāng)G′在x軸下方時，方法類似．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
則拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴P（1，4），
設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b，點A、P兩點坐標(biāo)代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$．
則直線AP的解析式為y=2x+2；  
（2）如圖1，假設(shè)AP上有一點E，使得DE⊥EO，作EM⊥OB，DN⊥EM，
則△EMO∽△DNE，
∴$\frac{OM}{EN}=\frac{EM}{DN}$，
設(shè)E（x，y），D（2，3），
則OM=x，EM=y，EN=y-3，DN=2-x，
∴$\frac{x}{y-3}=\frac{y}{2-x}$
又∵y=2x+2，
解得：x=$±\frac{\sqrt{10}}{5}$（負(fù)值舍去），
∴y=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$+2，
∴E（$\frac{\sqrt{10}}{5}$，2）；
（3）設(shè)G（m，-m²+2m+3），
∵S_△GPF=S_△GFB=S_△EFG+S_△EBG-S_△EFB，
∴$\frac{1}{2}$×2×（m-1）=$\frac{1}{2}$×2×（m-1）+$\frac{1}{2}$×2×（-m²+2m+3）-$\frac{1}{2}$×2×2，
解得m=1+$\sqrt{2}$或1-$\sqrt{2}$（舍棄），
∴點G坐標(biāo)（1+$\sqrt{2}$，2），
當(dāng)G′在x軸下方時，$\frac{1}{2}$×2×（m-1）=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×（m²-2m-3）-$\frac{1}{2}$×2×（m-1），
解得m=2+$\sqrt{3}$或2-$\sqrt{3}$舍棄，
∴點G坐標(biāo)（2+$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$），
∴使△GPF與△GBF的面積相等點G的坐標(biāo)為（1+$\sqrt{2}$，2），（2+$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$）．

點評 此題考查了二次函數(shù)綜合，用到的知識點是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角形相似、直線與拋物線的交點，關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，注意有兩種情形．