Question

2．已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角頂點落在正方形的頂點C處，使三角板繞點C旋轉(zhuǎn)．
（1）當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，猜想DE與BF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（2）在（1）的條件下，若BE：CE：DE=1：2：3，求∠BEC的度數(shù)；
（3）若BC=2，點M是邊AB的中點，連結(jié)CM，CM與BD交于點O，當(dāng)三角板的一邊CF與邊CM重合時（如圖2），若OF=$\frac{\sqrt{5}}{6}$，求DN的長．

Answer 1

分析 （1）證DE與BF所在的三角形全等即可；
（2）設(shè)BE=k，由BE：CE：DE=1：2：3，可得到BE、EF，根據(jù)勾股定理逆定理可知∠BEF=90°，進而求出∠BEC的度數(shù)；
（3）根據(jù)△CFN∽△CDO，進而得到△BOM∽△DOC，利用相似三角形的性質(zhì)解答．

解答 解：（1）如圖1，當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，DE=BF，
∵∠ECB+∠BCF=90°，∠DCE+∠ECB=90°，
∴∠DCE=∠BCF．
∵∠BCD=90°，AB∥CD
∴∠ABC=90°，∠BAC=∠ACD，
∵BC=2，AB=1，
∴tan∠BAC=2，
∵tan∠ADC=2，
∴∠BAC=∠ADC，
∴∠ACD=∠ADC，
∴AD=AC，
作AM⊥CD于點M，
∴CD=2MC=2AB=2，
∴CD=BC．
∵EC=CF，
∴△DCE≌△BCF．
∴DE=BF．
（2）設(shè)BE=k，
∵BE：CE：DE=1：2：3，
∴BF=3k，EF=2$\sqrt{2}$k，
∵k²+（2$\sqrt{2}$k）²=（3k）²，
∴∠BEF=90°，
∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=90°+45°=135°；
（3）∵∠CEF=∠CDO=45°，∠FCN=∠DCO，
∴△CFN∽△CDO，
∴$\frac{CF}{CD}=\frac{CN}{CO}$，
∵點M是邊AB的中點，
∴MB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC=1，
∵AB∥CD，
∴∠MBF=∠ODC，∠BMF=∠OCD，
∴△BOM∽△DOC，
∴$\frac{OM}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{MB}{DC}=\frac{1}{2}$，
在Rt△CBM中，
CM=$\sqrt{B{C}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴CO=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∵OF=$\frac{\sqrt{5}}{6}$，
∴CF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{CN}{\frac{2\sqrt{5}}{3}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴CN=$\frac{5}{6}$，
∴DN=2-$\frac{5}{6}$=$\frac{7}{6}$．

點評 本題是一道幾何變換綜合題，主要考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及逆定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識的綜合運用，綜合性很強，難度適中，第3小題是本題難點，發(fā)現(xiàn)相似三角形轉(zhuǎn)移線段比進行計算是解決問題的關(guān)鍵．