Question

9．如圖，已知PA為⊙O的切線，點A為切點，PO交⊙O于點B，點C是⊙O上一點，且$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，PO交AC于點D，若PA=2$\sqrt{6}$，OD=2，求⊙O的半徑和BD的長．

Answer 1

分析 由PA為⊙O的切線，點A為切點，得到OA⊥AP，由垂徑定理得到OP⊥AC，設半徑OA=r，根據勾股定理得到OP=$\sqrt{P{A}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{24+{r}^{2}}$，然后根據射影定理即可得到結果．

解答 解：∵PA為⊙O的切線，點A為切點，
∴OA⊥AP，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴OP⊥AC，
∴∠PAO=∠ADO=90°，
設半徑OA=r，
∴OP=$\sqrt{P{A}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{24+{r}^{2}}$，
∴OA²=OD•OP，
即r²=2$\sqrt{24+{r}^{2}}$，
解得r=2$\sqrt{3}$（負值舍去），
∴OB=⊙O的半徑=2$\sqrt{3}$，
∴BD=OB-OD=2$\sqrt{3}$-2．

點評 本題考查了切線的性質，勾股定理，垂徑定理，射影定理，熟練掌握這些定理是解題的關鍵．