Question

6．探索題
閱讀下列解題過程：
$\frac{1}{{\sqrt{5}+\sqrt{4}}}=\frac{{1•（{\sqrt{5}-\sqrt{4}\left.{\;}）}\right.}}{{（{\sqrt{5}+\sqrt{4}\left.{\;}）}\right.（{\sqrt{5}-\sqrt{4}\left.{\;}）}\right.}}=\frac{{\sqrt{5}-\sqrt{4}}}{{{{（\sqrt{5}）}^2}-{{（\sqrt{4}）}^2}}}=\sqrt{5}-\sqrt{4}=\sqrt{5}-2$
$\frac{1}{{\sqrt{6}+\sqrt{5}}}=\frac{{1•（\sqrt{6}-\sqrt{5}）}}{{（\sqrt{6}+\sqrt{5）（\sqrt{6}-\sqrt{5）}}}}=\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{5}}}{{{{（\sqrt{6}）}^2}-（\sqrt{5}）^2}}=\sqrt{6}-\sqrt{5}$
請回答下列問題：
（1）觀察上面的解題過程，請直接寫出$\frac{1}{{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}}$的結果為$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$；
（2）利用上面所提供的解法，請化簡：$\frac{1}{{1+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{4}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{98}+\sqrt{99}}}+\frac{1}{{\sqrt{99}+\sqrt{100}}}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平方差公式，可分母有理化；
（2）根據(jù)平方差公式，可分母有理化，根據(jù)實數(shù)的運算，可得答案．

解答 解：（1）$\frac{1}{{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}}$的結果為$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$，
故答案為：$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$；
（2）原式=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{99}$-$\sqrt{98}$+$\sqrt{100}$-$\sqrt{99}$
=$\sqrt{100}$-1
=9．

點評 本題考查了分母有理化，利用平方差公式是解題關鍵．