Question

18．如圖，邊長為6的等邊三角形ABC中，D是AB邊上的一動點，由A向B運動（A、B不重合），F(xiàn)是BC延長線上的一動點，與D同時以相同的速度由C向BC延長線方向運動（與C不重合），過點D作DE⊥AC，連接DF交AC于G．
（1）當(dāng)點D運動到AB的中點時，直接寫出AE的長；
（2）當(dāng)DF⊥AB時，求AD的長；
（3）在運動過程中線段GE的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段GE的長；如果發(fā)生改變請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由點D運動到AB的中點時，于是得到AD=$\frac{1}{2}$AB=3，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=60°，求得∠ADE=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）由點D、F同時運動且速度相同，得到AD=CF，求出∠AGD=∠CGF=30°，∠F=30°，于是得到CF=CG=AD，設(shè)AD=CG=CF=x，則AG=2x，列方程即可得到結(jié)論；
（3）當(dāng)點D、F同時運動且速度相同時，線段GE的長度不會改變．理由如下：作FQ⊥AC，交直線AC的延長線于點Q，連接FE，DQ，由點D、F速度相同，得到AD=CF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ABC=∠QCF=60°，推出△ADE≌△CFQ（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=CQ，DE=QF且DE∥QF，證得四邊形DEFQ是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到GE=$\frac{1}{2}$EQ，推出GE=$\frac{1}{2}$AC，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）點D運動到AB的中點時，
∵AD=$\frac{1}{2}$AB=3，∠A=60°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3}{2}$；

（2）∵點D、F同時運動且速度相同，
∴AD=CF，
∵DF⊥AB，∠A=60°，
∴∠AGD=∠CGF=30°，
∵∠B=60°，
∴∠F=30°，
∴∠CGF=∠F，
∴CF=CG=AD，
設(shè)AD=CG=CF=x，則AG=2x，
∴AG+CG=2x+x=3x=6，
∴x=2，
∴AD=2；

（3）當(dāng)點D、F同時運動且速度相同時，線段GE的長度不會改變．理由如下：
作FQ⊥AC，交直線AC的延長線于點Q，連接FE，DQ，
又∵DE⊥AB于E，
∴∠GQF=∠AED=90°，
∵點D、F速度相同，
∴AD=CF，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ABC=∠QCF=60°，
在△ADE和△CFQ中，
∵∠AED=∠CQF=90°，
∴∠AED=∠CQF，
在△ADE和△CQF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠CQF}\\{∠A=∠QCF}\\{AD=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CFQ（AAS），
∴AE=CQ，DE=QF且DE∥QF，
∴四邊形DEFQ是平行四邊形，
∴GE=$\frac{1}{2}$EQ，
∵EC+AE=CE+CQ=AC，
∴GE=$\frac{1}{2}$AC，
又∵等邊△ABC的邊長為6，
∴GE=3，
∴點D、F同時運動且速度相同時，線段GE的長度不會改變．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能推出兩三角形全等是解此題的關(guān)鍵．