Question

10．閱讀材料，回答問題
在邊長為1的正方形ABCD中，E是AB的中點，CF⊥DE，F(xiàn)為垂足． 
（1）△CDF與△DEA是否相似？說明理由；
（2）求CF的長．

Answer 1

分析 （1）利用正方形是性質和平行線的性質，由“兩角法”證明△ADE∽△FCD；
（2）根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等求解．

解答 解：（1）△ADE∽△FCD，理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB∥CD，
∴∠CDF=∠DEA．
又CF⊥DE，
∴∠CFD=90°，即∠CFD=∠A，
因而，△ADE∽△FCD；

（2）由題意知，AD=CD=1，AE=$\frac{1}{2}$．
在直角△DEA中，有DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
由（1）可得：$\frac{CF}{AD}$=$\frac{CD}{DE}$，則CF=$\frac{AD•CD}{DE}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質，以及勾股定理的應用，正確證明△ADE∽△FCD是關鍵．