Question

5．對于平面直角坐標系xOy中的點P和圖形G，給出如下定義：在圖形G上若存在兩點M，N，使△PMN為正三角形，則稱圖形G為點P的T型線，點P為圖形G的T型點，△PMN為圖形G關(guān)于點P的T型三角形．若H（0，-2）是拋物線y=x²+n的T型點，則n的取值范圍是（　�。�

• A． n≥-1
• B． n≤-1
• C． n≥-$\frac{5}{4}$
• D． n≤-$\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 y=x²+n是對稱軸為y軸的拋物線，頂點為（0，n），根據(jù)新定義可知：H與拋物線的兩點能組成等邊三角形，即直線AH與拋物線的交點，其交點就是等邊三角形的另兩點M、N，根據(jù)題意得∠AHO=30°，∠OAH=60°，OH=2，利用三角函數(shù)求出點A的坐標，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，當拋物線與直線有交點時，才有H（0，-2）是拋物線y=x²+n的T型點，因此列方程x²+n=$\sqrt{3}$x-2，有解時才有結(jié)論得出，即△≥0，解不等式即可．

解答 解：如圖，∵H（0，-2）是拋物線y=x²+n的T型點，
∴∠AHO=30°，
tan30°=$\frac{OA}{OH}$，
OA=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴A（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），
∴通過H的直線的解析式為：y=$\sqrt{3}$x-2，
∵y=x²+n，
∴當x²+n=$\sqrt{3}$x-2有解時，才有H（0，-2）是拋物線y=x²+n的T型點，
即△=3-4（n+2）≥0，
n≤-$\frac{5}{4}$，
∴當n≤-$\frac{5}{4}$時，H（0，-2）是拋物線y=x²+n的T型點，
故選D．

點評 本題是新定義的閱讀理解問題，有一定的難度，考查了學生分析問題、解決問題的能力，還考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征及等邊三角形的性質(zhì)，等邊三角形各角都是60°，熟練掌握三線合一的性質(zhì)，注意線段的長與點的坐標的關(guān)系；當兩函數(shù)的圖象有交點時，與方程組相結(jié)合，就是方程組的解．