Question

19．若m為整數(shù)，關(guān)于x的方程x²-mx+$\frac{1}{2}$m+1=0的根是有理數(shù)，求m．

Answer 1

分析 首先利用根的判別式得出△=m²-2m-4，再進(jìn)一步利用完全平方數(shù)的性質(zhì)探討得出答案即可．

解答 解：△=m²-2m-4，
∵根為有理數(shù)，
∴△必為完全平方數(shù)，
也可根據(jù)x=$\frac{m±\sqrt{△}}{2×1}$，
則沒(méi)m²-2m-4=k²（k≥0）
 m²-2m-4-k²=0
 m²-2m+1-k²=5
 （m-1）²-k²=5
（m-1+k）（m-1-k）=5
∵m，k為整數(shù)，且k≥0，
則$\left\{\begin{array}{l}{m-1+k=1}\\{m-1-k=5}\end{array}\right.$   或$\left\{\begin{array}{l}{m-1+k=5}\\{m-1-k=1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{k=-2（不合題意）}\end{array}\right.$   $\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{k=2}\end{array}\right.$
∴m=4時(shí)，根為有理數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．