Question

14．已知點(diǎn)A在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，∠AOB=60°，AB=6，△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后，點(diǎn)B剛好在雙曲線上，求k的值．

Answer 1

分析 依題意，旋轉(zhuǎn)后，B、O、A三點(diǎn)在同一直線上，根據(jù)雙曲線的中心對(duì)稱性可知OA=OB，又∠AOB=60°，可知△AOB為等邊三角形，過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線，解直角三角形求A點(diǎn)的坐標(biāo)即可求k的值．

解答 解：過(guò)A點(diǎn)作AC⊥x軸，垂足為C，
設(shè)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，則∠AOB′=∠AOB+∠BOB′=60°+120°=180°，
∵雙曲線是中心對(duì)稱圖形，
∴OA=OB′，即OA=OB，
又∵∠AOB=60°，
∴△AOB為等邊三角形，OA=AB=6，
在Rt△AOC中，OC=OA×cos60°=3，
AC=OA×sin60°=3$\sqrt{3}$，
∴k=OC×AC=9$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵．