Question

11．菱形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁，A₃B₃C₃C₂，…，按照如圖所示的方式放置．點A₁，A₂，A₃，…和點C₁，C₂，C₃，…分別在直線y=kx+b和x軸上．已知∠A₁OC₁=60°，點B₁（3，$\sqrt{3}$），B₂（8，2$\sqrt{3}$），則A_n的坐標是（3•2^n-1-2，2^n-1•$\sqrt{3}$）（用含n的式子表示）

Answer 1

分析 分別過A₁、A₂、A₃作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得四邊形A₁B₁C₁O和四邊形A₂B₂C₂C₁都為菱形，則A₁B∥x軸，A₂B₂∥x軸，∠A₂C₁E=∠A₃C₂GF=60°，在Rt△A₁OD中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計算出OD=1，OA₁=2，則A₁（1，$\sqrt{3}$），且OC₁=OA₁=2，接著在Rt△A₂C₁E中可計算出C₁E=2，A₂C₁=4，則A₂（4，2$\sqrt{3}$），C₁C₂=4，同理可得A₃（10，4$\sqrt{3}$），然后利用待定系數(shù)法求出直線解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，由A₁、A₂、A₃的縱坐標的規(guī)律可得A_n的縱坐標2^n-1•$\sqrt{3}$，于是利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得求出A_n的橫坐標，從而得到A_n的坐標．

解答 解：分別過A₁、A₂、A₃作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，如圖，
∵∠A₁OC₁=60°，而四邊形A₁B₁C₁O和四邊形A₂B₂C₂C₁都為菱形，
∴∠A₂C₁E=∠A₃C₂GF=60°，
在Rt△A₁OD中，∵AD=$\sqrt{3}$，∠OA₁D=30°，
∴OD=1，OA₁=2，
∴A₁（1，$\sqrt{3}$），OC₁=OA₁=2，
在Rt△A₂C₁E中，∵A₂E=2$\sqrt{3}$，∠C₁A₂E=30°，
∴C₁E=2，A₂C₁=4，
∴A₂（4，2$\sqrt{3}$），C₁C₂=4，
同理可得A₃（10，4$\sqrt{3}$），
把A₁（1，$\sqrt{3}$），A₂（4，2$\sqrt{3}$）分別代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=\sqrt{3}}\\{4k+b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$．
∴直線解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
由A₁、A₂、A₃的縱坐標的規(guī)律可得A_n的縱坐標2^n-1•$\sqrt{3}$，
當y=2^n-1•$\sqrt{3}$時，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=2^n-1•$\sqrt{3}$，
解得x=3•2^n-1-2．
∴A_n的坐標是（3•2^n-1-2，2^n-1•$\sqrt{3}$）．
故答案為（3•2^n-1-2，2^n-1•$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．也考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征．