Question

6．如圖，CE是⊙O的直徑，AC為⊙0的切線，D為⊙O上的一點，∠A=2∠DCE，延長AD交CE的延長線于點B，連接CD．若BE=OE=2．
（1）求證：AD為⊙O的切線；
（2）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析 （1）連接OD，由AD=AC，OD=OC，可得∠ADC=∠ACD，∠ODC=∠OCD，又CA為切線，可知∠ADO=∠ACB=90°，可得AD為切線；
（2）根據(jù)勾股定理求出BD，分別求出△ODB和扇形DOE的度數(shù)，即可得出答案．

解答 （1）證明：如圖，連接OD，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ADC+∠ODC=∠ACD+∠OCD，
即∠ADO=∠ACB，
∵CE是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，
∴BC⊥AC，
∴∠ADO=∠ACB=90°，
∴AD為⊙O的切線；

（2）解：∵∠ODB=90°，OD=2，BO=2+2=4，
由勾股定理得：BD=2$\sqrt{3}$，
∴陰影部分的面積S=S_△ODB-S_扇形DOE=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2-$\frac{60π•{2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

點評 本題主要考查切線的性質(zhì)和判定及扇形的計算，掌握切線問題中的兩種輔助線的作法及扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．