Question

18．已知D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，AD：DB=1：2，∠A=45°，∠BDC=60°，求證：△CBD∽△ABC．

Answer 1

分析 作CE⊥AB于E，如圖，設(shè)DE=x，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CD=2DE=2x，CE=$\sqrt{3}$x，在Rt△ACE中利用等腰直角三角形的性質(zhì)得AE=CE=$\sqrt{3}$x，AC=$\sqrt{2}$CE=$\sqrt{6}$x，則AD=AE-DE=（$\sqrt{3}$-1）x，所以DB=2（$\sqrt{3}$-1）x，則BE=BD-DE=（2$\sqrt{3}$-3）x，利用勾股定理計(jì)算出BC=$\sqrt{6}$（$\sqrt{3}$-1）x，于是可計(jì)算出$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，加上∠DBC=∠CBA，則可判斷△CBD∽△ABC．

解答 證明：作CE⊥AB于E，如圖，設(shè)DE=x，
在Rt△CDE中，∵∠CDE=60°，
∴CD=2DE=2x，CE=$\sqrt{3}$x，
在Rt△ACE中，∵∠A=45°，
∴AE=CE=$\sqrt{3}$x，AC=$\sqrt{2}$CE=$\sqrt{6}$x，
∴AD=AE-DE=（$\sqrt{3}$-1）x，
∵AD：DB=1：2，
∴DB=2（$\sqrt{3}$-1）x，
∴BE=BD-DE=（2$\sqrt{3}$-3）x，
在Rt△BCE中，BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{[（2\sqrt{3}-3）{x]}^{2}+（\sqrt{3}x）^{2}}$=$\sqrt{6}$（$\sqrt{3}$-1）x，
∵$\frac{BD}{BC}$=$\frac{2（\sqrt{3}-1）x}{\sqrt{6}（\sqrt{3}-1）x}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{6}（\sqrt{3}-1）x}{3（\sqrt{3}-1）x}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BC}{AB}$，
而∠DBC=∠CBA，
∴△CBD∽△ABC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．也考查了含30°的直角三角形三邊的關(guān)系和等腰直角三角形的性質(zhì)．解決問(wèn)題的根據(jù)是作輔助線是45°和60°在直角三角形中，利用代數(shù)式法表示出圖中所有線段．