Question

17．如圖，將邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD沿著折痕EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD的中點(diǎn)G處，求：
（1）線段BE的長(zhǎng)；
（2）求四邊形EFKG的面積．

Answer 1

分析 （1）由翻折的性質(zhì)可知；BE=EG．在Rt△AEG中，由勾股定理列方程求解即可；
（2）由翻折的性質(zhì)可知：EG=BG=5，GH=BC=8，則可得DG的長(zhǎng)．易證得△AEG∽DGK．，所以可求DK、GK的長(zhǎng)，從而可求得KH的長(zhǎng)．再證△DGK∽△HFK，則可求得FH的長(zhǎng)．從而梯形GEFH和△FHK可求，由面積的關(guān)系可求得四邊形EFKG的面積．

解答 解：（1）由翻折的性質(zhì)可知；BE=EG．
設(shè)BE=x，則EG=x，AE=8-x．
∵點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)，
∴AG=4．
在Rt△AEG中，由勾股定理得：AG²+AE²=EG²，即4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5．
∴BE=5．
（2）由翻折性質(zhì)知EG=5，
∵BE=5，AB=AD=8，
∴AE=3，DG=4．
∵∠AGE+∠AEG=90°，∠AGE+∠DGK=90°，
∴∠AEG=∠DGK，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△AEG∽DGK．
∴$\frac{AE}{DG}=\frac{AG}{DK}$=$\frac{EG}{GK}$，代入數(shù)據(jù)解得DK=$\frac{16}{3}$，GK=$\frac{20}{3}$．
∵GH=BC=8，
∴KH=8-$\frac{20}{3}$．
∵∠HKF=∠DKG，∠D=∠H=90°，
∴△DGK∽△HFK，
∴$\frac{DG}{HF}$=$\frac{DK}{HK}$，代入數(shù)據(jù)得HF=1．
∴S_梯形GEFH=$\frac{1}{2}$×GH×（EG+FH）=$\frac{1}{2}$×8×（5+1）=24，S_△FHK=$\frac{1}{2}$FH•HK=$\frac{1}{2}$×1×（8-$\frac{20}{3}$）=4-$\frac{10}{3}$
∴S_{四邊形EFKG}=S_梯形GEFH-S_△FHK=24-（4-$\frac{10}{3}$）=20+$\frac{10}{3}$

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了折疊問(wèn)題與勾股定理以及正方形的性質(zhì)，掌握翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．