Question

15．如圖，△PMN是等邊三角形，∠APB=120°．
（1）求證：AM•PB=PN•AP．
（2）若△APB是等腰三角形，求$\frac{AP}{NB}$的值．

Answer 1

分析 （1）由△PMN是等邊三角形，∠APB=120°，可得∠AMP=∠PNB=120°，繼而證得∠APM=∠B，則可證得△APM∽△PBN，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得結(jié)論；
（2）由△APB是等腰三角形，可得∠A=∠B=30°，繼而可得AM=PM=BN=PN，然后過(guò)點(diǎn)N作NH⊥PB于點(diǎn)H，即可求得AP=PB=$\sqrt{3}$NB，繼而求得答案．

解答 （1）證明：∵△PMN是等邊三角形，
∴∠PMN=∠PNM=60°，
∴∠AMP=∠PNB=120°，
∴∠A+∠APM=60°，
∵∠APB=120°，
∴∠A+∠B=60°，
∴∠APM=∠B，
∴△APM∽△PBN，
∴AM：PN=AP：PB，
∴AM•PB=PN•AP．

（2）∵△APB是等腰三角形，∠APB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∵△APM∽△PBN，
∴∠APM=∠A=∠BPN=∠B=30°，
∴AM=PM=BN=PN，
過(guò)點(diǎn)N作NH⊥PB于點(diǎn)H，
則BH=BN•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$NB，BH=PH=$\frac{1}{2}$PB，
∴AP=PB=2BH=$\sqrt{3}$NB，
∴$\frac{AP}{NB}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．