Question

5．如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，EF分別是BC，CD上的點，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．

（1）提示：探究此問題的方法是延長FD到點G，使DG=BE，連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF．請根據(jù)提示按照提示的方法完成探究求解過程．
（2）探索延伸：
如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立？成立（成立或不成立）
（3）實際應(yīng)用：
如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等．接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進，1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等解答；
（2）延長FD到G，使DG=BE，連接AG，根據(jù)同角的補角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“邊角邊”證明△AEF和△GAF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=GF，然后求解即可；
（3）連接EF，延長AE、BF相交于點C，然后求出∠EAF=$\frac{1}{2}$∠AOB，判斷出符合探索延伸的條件，再根據(jù)探索延伸的結(jié)論解答即可．

解答 解：（1）EF=BE+DF．理由如下：
如圖1，延長FD到G，使DG=BE，連接AG，
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=BE}\\{∠B=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；

（2）EF=BE+DF仍然成立．
證明：如圖2，延長FD到G，使DG=BE，連接AG，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=BE}\\{∠B=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
故答案是：成立；

（3）如圖3，連接EF，延長AE、BF相交于點C，
∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°，
∴∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOB，
又∵OA=OB，
∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的條件，
∴結(jié)論EF=AE+BF成立，
即EF=1×（60+80）=140（海里）．
答：此時兩艦艇之間的距離是140海里．

點評 本題考查了四邊形綜合題，主要運用了全等三角形的判定與性質(zhì)，方向角等知識，讀懂問題背景的求解思路，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并兩次證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．