Question

4．如圖，M，N分別是直線AB，CD上一點(diǎn)，點(diǎn)E在直線AB，CD之間，∠BME+∠DNE=∠E．
（1）如圖一，求證：AB∥CD；
（2）F是EM上一點(diǎn)，NE平分∠FND．
①如圖2，若∠FNE=∠BME，∠E=60°，求證：NF⊥ME；
②如圖3，延長NF交∠BME的角平分線MG于G，探究∠E，∠G與∠MFN之間有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)E做EF∥AB，則∠BME=∠MEF，由∠E=∠MEF+∠NEF、∠BME+∠DNE=∠E可得出∠NEF=∠DNE，利用“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可證出EF∥CD，進(jìn)而可得出AB∥CD；
（2）①設(shè)∠FNE=∠BME=x，則∠END=60°-x，由角平分線的性質(zhì)結(jié)合（1）的結(jié)論可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求出∠MFN=90°，即NF⊥ME；
②設(shè)∠BMG=∠EMG=α、∠DNE=∠GNE=β，由（1）的結(jié)論可得出∠MFN=2α+2β、∠G=α+2β、∠E=2α+β，進(jìn)而即可得出∠MFN=$\frac{2}{3}$（∠G+∠E）．

解答 （1）證明：在圖1中，過點(diǎn)E做EF∥AB，
∵EF∥AB，
∴∠BME=∠MEF．
∵∠E=∠MEF+∠NEF，∠BME+∠DNE=∠E，
∴∠NEF=∠DNE，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD．
（2）①證明：設(shè)∠FNE=∠BME=x，則∠END=60°-x．
∵NE平分∠FND，
∴∠END=∠FNE=x，
即60°-x=x，解得：x=30°．
又∵∠MFN=∠BME+∠FND=x+（x+60°-x）=90°，
∴NF⊥ME．
②解：∠MFN=$\frac{2}{3}$（∠G+∠E），
證明：設(shè)∠BMG=∠EMG=α，∠DNE=∠GNE=β，則∠MFN=2α+2β，∠G=α+2β，∠E=2α+β，
∴∠MFN=$\frac{2}{3}$（3α+3β）=$\frac{2}{3}$（∠G+∠E）．

點(diǎn)評 本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）過點(diǎn)E做EF∥AB，證出EF∥CD；（2）①根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合（1）的結(jié)論，列出關(guān)于x的一元一次方程；②利用（1）的結(jié)論找出∠MFN=2α+2β、∠G=α+2β、∠E=2α+β．