Question

13．如圖，點D是等邊△ABC的邊AB上一點，連接CD并以CD為邊作等邊△CDE，連接BE，過D作DF⊥BC于F，連AF．若AF∥DE，BC=4，則CF的長度為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{7}{3}$
• C． $\frac{8}{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 只要證明△ACD≌△BCE，△CDG≌△DEB，△ABF≌△CAD，推出AD=BE=BF，設(shè)BF=x，構(gòu)建方程即可解決問題．

解答 解：∵△ABC，△DCE都是等邊三角形，
∴AC=CB，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△CAD≌△CBE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD=60°，
過D作DG∥BC，則△ADG是等邊三角形，
∴AD=DG=BE，∠AGD=60°，
∴∠DGC=∠DBE=120°，
∴AB=AC，AD=AG，
∴BD=CG，
∴△CDG≌△DEB（SAS），
∴∠BDE=∠BCE=∠ACD，
∵AF∥DE，
∴∠BDE=∠BAF，
∴△ABF≌△CAD（ASA），
∴BE=BF=AD，
在Rt△BDF中，∠BDF=30°，
∴設(shè)BF=x，BD=2x，
∴BD+AD=2x+x=4，x=$\frac{4}{3}$，
∴CF=BC-BF=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的30度角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考�？碱}型．