Question

10．如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．
（1）操作發(fā)現(xiàn)
如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空：
①線段DE與AC的位置關(guān)系是DE∥AC；
②設(shè)△BDC的面積為S₁，△AEC的面積為S₂，則_S1與S₂的數(shù)量關(guān)系是S₁=S₂．
（2）猜想論證
當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中S₁與S₂的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高DM和AN，請(qǐng)你證明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，點(diǎn)D是其角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4，DE∥AB交BC于點(diǎn)E（如圖4）．若在射線BA上存在點(diǎn)F，使S_△DCF=S_△BDE，請(qǐng)求出相應(yīng)的BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACD=60°，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行解答；
②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AC=$\frac{1}{2}$AB，然后求出AC=BD，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C到AB的距離等于點(diǎn)D到AC的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；
（3）過(guò)點(diǎn)D作DF₁∥BE，求出四邊形BEDF₁是菱形，根據(jù)菱形的對(duì)邊相等可得BE=DF₁，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點(diǎn)F₁為所求的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF₂⊥BD，求出∠F₁DF₂=60°，從而得到△DF₁F₂是等邊三角形，然后求出DF₁=DF₂，再求出∠CDF₁=∠CDF₂，利用“邊角邊”證明△CDF₁和△CDF₂全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得點(diǎn)F₂也是所求的點(diǎn)，然后在等腰△BDE中求出BE的長(zhǎng)，即可得解．

解答 解：（1）①∵△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)點(diǎn)D恰好落在AB邊上，
∴AC=CD，
∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC，
故答案為：DE∥AC；
②∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴BD=AD=AC，
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，△ACD的邊AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），
即S₁=S₂=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$；
故答案為：S₁=S₂；

（2）∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
∵在△ACN和△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACN=∠DCM}\\{∠CMD=∠N}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即S₁=S₂；

（3）如圖（3），過(guò)點(diǎn)D作DF₁∥BE，易求四邊形BEDF₁是菱形，
所以BE=DF₁，且BE、DF₁上的高相等，
此時(shí)S_△DCF1=S_△BDE；
過(guò)點(diǎn)D作DF₂⊥BD，
∵∠ABC=60°，F(xiàn)₁D∥BE，
∴∠F₂F₁D=∠ABC=60°，
∵BF₁=DF₁，∠F₁BD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，∠F₂DB=90°，
∴∠F₁DF₂=∠ABC=60°，
∴△DF₁F₂是等邊三角形，
∴DF₁=DF₂，
∵BD=CD，∠ABC=60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，
∴∠DBC=∠DCB=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴∠CDF₁=180°-∠BCD=180°-30°=150°，
∠CDF₂=360°-150°-60°=150°，
∴∠CDF₁=∠CDF₂，
∵在△CDF₁和△CDF₂中，
$\left\{\begin{array}{l}{D{F}_{1}=D{F}_{2}}\\{∠CD{F}_{1}=∠CD{F}_{2}}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CDF₁≌△CDF₂（SAS），
∴點(diǎn)F₂也是所求的點(diǎn)，
∵∠ABC=60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，DE∥AB，
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
又∵BD=4，
∴BE=$\frac{1}{2}$×4÷cos30°=2÷$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴BF₁=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，BF₂=BF₁+F₁F₂=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
故BF的長(zhǎng)為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵，（3）要注意符合條件的點(diǎn)F有兩個(gè)．