Question

16．如圖，OA是⊙O的半徑，弦CD⊥OA，垂足為H，連接AD．
（1）若CD=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{3}$，求⊙O的半徑長；
（2）設(shè)OA=r，AD=m，AH=n，求證：m²=2rn．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)垂徑定理求出DH，根據(jù)勾股定理求出AH，再根據(jù)勾股定理列出關(guān)于OA的方程，解方程即可；
（2）作直徑AG，連接DG，根據(jù)射影定理證明．

解答 解：（1）連接OD，
∵CD⊥OA，
∴DH=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{2}$，又AD=$\sqrt{3}$，
∴AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=1，
則OH=OA-1，
∴OD²=OH²+DH²，即OA²=（OA-1）²+2，
解得，OA=$\frac{3}{2}$；
（2）證明：作直徑AG，連接DG，
∴∠ADG=90°，又CD⊥OA，
∴AD²=AH•AG，
即m²=2rn．

點評 本題考查的是垂徑定理、勾股定理和射影定理的綜合運用，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦是解題的關(guān)鍵，解答時注意射影定理成立的條件．