Question

20．一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，-6），且與反比例函數(shù)y=-$\frac{12}{x}$的圖象交于點(diǎn)B（a，4）．
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）將直線AB向上平移10個單位后得到直線l：y₁=k₁x+b₁（k₁≠0），l與反比例函數(shù)y₂=$\frac{6}{x}$的圖象相交，求使y₁＜y₂成立的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)B的縱坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；
（2）根據(jù)“上加下減”找出直線l的解析式，聯(lián)立直線l和反比例函數(shù)解析式成方程組，解方程組可找出交點(diǎn)坐標(biāo)，畫出函數(shù)圖象，根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系即可找出使y₁＜y₂成立的x的取值范圍．

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)y=-$\frac{12}{x}$的圖象過點(diǎn)B（a，4），
∴4=-$\frac{12}{a}$，解得：a=-3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，4）．
將A（2，-6）、B（-3，4）代入y=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-6}\\{-3k+b=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-2x-2．

（2）直線AB向上平移10個單位后得到直線l的解析式為：y₁=-2x+8．
聯(lián)立直線l和反比例函數(shù)解析式成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+8}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
∴直線l與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，6）和（3，2）．
畫出函數(shù)圖象，如圖所示．
觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)0＜x＜1或x＞3時，反比例函數(shù)圖象在直線l的上方，
∴使y₁＜y₂成立的x的取值范圍為0＜x＜1或x＞3．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及解方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式；（2）聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，通過解方程組求出兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．