Question

9．如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點K，E是線段AD上一動點．
（1）若BK=KC，求$\frac{CD}{AB}$的值．
（2）連接BE，若BE平分∠ABC，則當(dāng)AE=$\frac{1}{2}$AD時，猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論并予以證明；
（3）再探究：當(dāng)AE=$\frac{1}{n}$AD（n＞2），而其余條件不變時，線段AB、BC、CD三者之間又有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論，不必證明．

Answer 1

分析 （1）由已知得BK=KC，由CD∥AB可證△KCD∽△KBA，利用$\frac{CD}{AB}$=$\frac{CK}{BK}$求值；
（2）AB=BC+CD．作△ABD的中位線，由中位線定理得EF∥AB∥CD，可知G為BC的中點，由平行線及角平分線性質(zhì)，得∠GEB=∠EBA=∠GBE，則EG=BG=$\frac{1}{2}$BC，而GF=$\frac{1}{2}$CD，EF=$\frac{1}{2}$AB，利用EF=EG+GF求線段AB、BC、CD三者之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）當(dāng)AE=$\frac{1}{n}$AD（n＞2）時，EG=BG=$\frac{1}{n}$BC，而GF=$\frac{1}{n}$CD，EF=$\frac{n-1}{n}$AB，EF=EG+GF可得BC+CD=（n-1）AB．

解答 解：（1）∵BK=KC，
∴$\frac{CK}{BK}$=1，
又∵CD∥AB，
∴△KCD∽△KBA，
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{CK}{BK}$=1；

（2）當(dāng)BE平分∠ABC，AE=$\frac{1}{2}$AD時，AB=BC+CD；
證明：取BD的中點為F，連接EF交BC于G點，
由中位線定理，得EF∥AB∥CD，
∴G為BC的中點，∠GEB=∠EBA，
又∵∠EBA=∠GBE，
∴∠GEB=∠GBE，
∴EG=BG=$\frac{1}{2}$BC，而GF=$\frac{1}{2}$CD，EF=$\frac{1}{2}$AB，
∵EF=EG+GF，
即：$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC+$\frac{1}{2}$CD；
∴AB=BC+CD；

（3）由（2）同理可得：當(dāng)AE=$\frac{1}{n}$AD（n＞2）時，EF∥AB，
同理可得：$\frac{BG}{BC}$=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{1}{n}$，則BG=$\frac{1}{n}$•BC，則EG=BG=$\frac{1}{n}$•BC，
$\frac{GF}{CD}$=$\frac{BG}{BC}$=$\frac{1}{n}$，則GF=$\frac{1}{n}$•CD，$\frac{EF}{AB}$=$\frac{ED}{AD}$=$\frac{n-1}{n}$，
∴$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n}$•CD=$\frac{n-1}{n}$•AB，
∴BC+CD=（n-1）AB，
故當(dāng)AE=$\frac{1}{n}$AD（n＞2）時，BC+CD=（n-1）AB．

點評 本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造平行線利用三角形的中位線定理解決問題是解題的關(guān)鍵．