Question

13．已知，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖①所示，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+8．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，將△BDE以DE為軸翻折，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求G點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，拋物線y=ax²+bx+8的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F，使得以C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=ax²+bx+8經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-6，0），B（4，0），應(yīng)用待定系數(shù)法，求出拋物線的解析式即可．
（2）首先作DM⊥拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，n），根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得BD=DG；然后分別求出點(diǎn)D、點(diǎn)M的坐標(biāo)各是多少，以及BC、BD的值各是多少；最后在Rt△GDM中，根據(jù)勾股定理，求出n的值，即可求出G點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）根據(jù)題意，分三種情況：①當(dāng)CD∥EF，且點(diǎn)E在x軸的正半軸時(shí)；②當(dāng)CD∥EF，且點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸時(shí)；③當(dāng)CE∥DF時(shí)；然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)各是多少即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+8經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-6，0），B（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{36a-6b+8=0}\\{16a+4b+8=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式是：y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8．

（2）如圖①，作DM⊥拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，，
設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，n），
由翻折的性質(zhì)，可得BD=DG，
∵B（4，0），C（0，8），點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，4），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（-1，4），DM=2-（-1）=3，
∵B（4，0），C（0，8），
∴BC=$\sqrt{{4}^{2}{+8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴$BD=2\sqrt{5}$，
在Rt△GDM中，
3²+（4-n）²=20，
解得n=4±$\sqrt{11}$，
∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，4+$\sqrt{11}$）或（-1，4-$\sqrt{11}$）．

（3）拋物線y=ax²+bx+8的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)F，使得以C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．
①當(dāng)CD∥EF，且點(diǎn)E在x軸的正半軸時(shí)，如圖②，
由（2），可得點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，4），
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（c，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)是（-1，d），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{0+c}{2}=\frac{-1+2}{2}}\\{\frac{8+0}{2}=\frac{d+4}{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{d=4}\end{array}\right.$
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（-1，4），點(diǎn)E的坐標(biāo)是（1，0）．

②當(dāng)CD∥EF，且點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸時(shí)，如圖③，
由（2），可得點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，4），
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（c，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)是（-1，d），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{0+（-1）}{2}=\frac{c+2}{2}}\\{\frac{8+d}{2}=\frac{0+4}{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{d=-4}\end{array}\right.$
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（-1，-4），點(diǎn)E的坐標(biāo)是（-3，0）．

③當(dāng)CE∥DF時(shí)，如圖④，，
由（2），可得點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，4），
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（c，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)是（-1，d），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{0+2}{2}=\frac{c+（-1）}{2}}\\{\frac{8+4}{2}=\frac{d+0}{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{d=12}\end{array}\right.$
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（-1，12），點(diǎn)E的坐標(biāo)是（3，0）．
綜上，可得
拋物線y=ax²+bx+8的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)F，使得以C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
點(diǎn)F的坐標(biāo)是（-1，4）、（-1，-4）或（-1，12）．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了二次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問(wèn)題的能力．
（2）此題還考查了平行四邊形的性質(zhì)和應(yīng)用，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，要熟練掌握．
（3）此題還考查了直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握．