Question

4．如圖所示，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D向點A以1cm/s的速度移動．如果P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動時間（0≤t≤6）．那么：
（1）當(dāng)t為何值時，△QAP為等腰直角三角形？
（2）當(dāng)t為何值時，△QAP的面積為8cm²？
（3）當(dāng)t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似？

Answer 1

分析 （1）若△QAP為等腰直角三角形，則AQ=AP，即6-t=2t，解得t即可；
（2）若△QAP的面積為8cm²，利用三角形的面積公式則有S_△QAP=$\frac{1}{2}×2t×（6-t）$=8，解得t即可；
（3）若以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似，分兩種情況討論：①當(dāng)∠AQP=∠BAC時，△AQP∽△BAC，利用相似三角形的性質(zhì)，則有$\frac{AQ}{BA}=\frac{AP}{BC}$，即$\frac{6-t}{12}=\frac{2t}{6}$，解得t；②當(dāng)∠AQP=∠BCA時，△AQP∽△BAC，則有$\frac{AQ}{BC}=\frac{AP}{BA}$，即$\frac{6-t}{6}=\frac{2t}{12}$，解得t．

解答 解：（1）∵△QAP為等腰直角三角形，
∴AQ=AP，
∵AP=2t，AQ=6-t，
∴6-t=2t，解得：t=2，
∴當(dāng)t=2時，△QAP為等腰直角三角形；

（2）∵AP=2t，AQ=6-t，
∴S_△QAP=$\frac{1}{2}×2t×（6-t）$=8，解得：t₁=4，t₂=2，
∴當(dāng)t=4s或2s時，△QAP的面積為8cm²；

（3）①當(dāng)∠AQP=∠BAC時，△AQP∽△BAC，
則有$\frac{AQ}{BA}=\frac{AP}{BC}$，
∴$\frac{6-t}{12}=\frac{2t}{6}$，
解得：t=$\frac{6}{5}$；
②當(dāng)∠AQP=∠BCA時，△AQP∽△BAC，
則有$\frac{AQ}{BC}=\frac{AP}{BA}$，
∴$\frac{6-t}{6}=\frac{2t}{12}$，
解得：t=3，
綜上所述，當(dāng)t=$\frac{6}{5}$s或3s時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似．

點評 本題主要考查了動點問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)及判定，分類討論是解答此題的關(guān)鍵．