Question

6．教材中，在計(jì)算如圖1所示的正方形ABCD的面積時(shí)，分別從兩個(gè)不同的角度進(jìn)行了操作：
（1）把它看成是一個(gè)大正方形，則它的面積為（a+b）²；
（2）把它看成是2個(gè)小長(zhǎng)方形和2個(gè)小正方形組成的，則它的面積為a²+2ab+b²；因此，可得到等式：（a+b）²=a²+2ab+b²．
①類比教材中的方法，由圖2中的大正方形可得等式：（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc．
②試在圖2右邊空白處畫出面積為2a²+3ab+b²的長(zhǎng)方形的示意圖（標(biāo)注好a，b），由圖形可知，多項(xiàng)式2a²+3ab+b²可分解因式為：2a²+3ab+b²=（2a+b）（a+b）．

③若將代數(shù)式（a₁+a₂+a₃+…+a₂₀）²展開后合并同類項(xiàng)，得到多項(xiàng)式N，則多項(xiàng)式N的項(xiàng)數(shù)一共有210項(xiàng)．

Answer 1

分析 ①根據(jù)圖2，利用直接求與間接法分別表示出正方形面積，即可確定出所求等式；
②根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式與長(zhǎng)、寬之間的關(guān)系畫出圖形即可；
③由（a₁+a₂）²=a₁²+2a₁a₂+a₂²，共有2+1=3項(xiàng)；（a₁+a₂+a₃）²=a₁²+a₂²+a₃²+2a₁a₂+2a₂a₃+2a₃a₃，共有1+2+3=6項(xiàng)，知（a₁+a₂+a₃+…+a₂₀）²展開后合并同類項(xiàng)共有1+2+3+…+20=$\frac{（1+20）×20}{2}$=210項(xiàng)．

解答 解：①（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，
故答案為：（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc；

②如圖，

2a²+3ab+b²=（2a+b）（a+b），
故答案為：2a²+3ab+b²=（2a+b）（a+b）；

③∵（a₁+a₂）²=a₁²+2a₁a₂+a₂²，共有2+1=3項(xiàng)；
（a₁+a₂+a₃）²=a₁²+a₂²+a₃²+2a₁a₂+2a₂a₃+2a₃a₃，共有1+2+3=6項(xiàng)，
…
∴（a₁+a₂+a₃+…+a₂₀）²展開后合并同類項(xiàng)共有1+2+3+…+20=$\frac{（1+20）×20}{2}$=210項(xiàng)，
故答案為：210．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了完全平方公式的幾何背景及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．