Question

4．如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AB延長(zhǎng)線上，點(diǎn)G在邊AD上，F(xiàn)G分別交ED，BC于點(diǎn)M，N．
（1）如圖1，AE=BF，連接CF．
①求證：△DGM∽△CNF；
②若BE=2AE=2GD，求$\frac{GM}{NF}$的值．
（2）如圖2，若$\frac{EF}{CD}=\frac{GD}{AE}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求∠EMF的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）①易證△EAD≌△FBC，則有∠AED=∠BFC，從而有DE∥FC，即可得到∠GMD=∠NFC．由AD∥BC可得∠MGD=∠FNC，即可得到△DGM∽△CNF；②由△DGM∽△CNF可得$\frac{GM}{NF}$=$\frac{DM}{CF}$，要求$\frac{GM}{NF}$，只需求$\frac{DM}{CF}$，由△EAD≌△FBC可得DE=CF，只需求$\frac{DM}{DE}$，只需求$\frac{DM}{EM}$，延長(zhǎng)FG、CD，交于點(diǎn)Q，如圖1．易證DMQ∽△EMF，從而有$\frac{DM}{EM}$=$\frac{DQ}{EF}$，只需求$\frac{DQ}{EF}$．設(shè)AE=x，則BF=x，由BE=2AE=2GD可得BE=2x，GD=x，從而得到AD=AB=3x，EF=3x，AF=4x，AG=2x．由AB∥QC可得△AGF∽△DGQ，從而得到$\frac{AF}{DQ}$=$\frac{AG}{DG}$，即可求得DQ=2x，問(wèn)題得以解決；
（2）過(guò)點(diǎn)F作FK∥DE，交DC于K，連接GK，交DE于H，如圖2．易證四邊形EFKD是平行四邊形，從而可得EF=DK，DE=FK．由$\frac{EF}{CD}=\frac{GD}{AE}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$可得$\frac{DK}{AD}$=$\frac{GD}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，從而可證到△GDK∽△EAD，即可得到$\frac{GK}{ED}$=$\frac{GD}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠GKD=∠EDA，從而有$\frac{GK}{FK}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠HDK+∠HKD=∠HDK+∠EDA=90°，即可得到∠DHK=90°．由DE∥FK可得∠EMF=∠GFK，∠GKF=∠DHK=90°，然后在Rt△GKF中利用三角函數(shù)即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB∥DC，AB=AD=BC=DC，∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠FBC=90°=∠A．
在△EAD和△FBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠A=∠FBC}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△EAD≌△FBC，
∴∠AED=∠BFC，
∴DE∥FC，
∴∠GMD=∠NFC．
∵AD∥BC，
∴∠MGD=∠FNC，
∴△DGM∽△CNF；

（2）延長(zhǎng)FG、CD，交于點(diǎn)Q，如圖1．
設(shè)AE=x，則BF=AE=x．
∵BE=2AE=2GD，
∴BE=2x，GD=x，
∴AD=AB=AE+BE=x+2x=3x，
EF=EB+BF=2x+x=3x，
AF=AE+EF=x+3x=4x，
AG=AD-DG=3x-x=2x．
∵AB∥QC，
∴△AGF∽△DGQ，
∴$\frac{AF}{DQ}$=$\frac{AG}{DG}$，
∴$\frac{4x}{DQ}$=$\frac{2x}{x}$，
∴DQ=2x．
∵AB∥QC，
∴△DMQ∽△EMF，
∴$\frac{DM}{EM}$=$\frac{DQ}{EF}$=$\frac{2x}{3x}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{DM}{DE}$=$\frac{2}{5}$．
由（1）可得△EAD≌△FBC，
∴DE=CF，
∴$\frac{DM}{CF}$=$\frac{2}{5}$．
∵△DGM∽△CNF，
∴$\frac{GM}{NF}$=$\frac{DM}{CF}$=$\frac{2}{5}$；

（3）過(guò)點(diǎn)F作FK∥DE，交DC于K，連接GK，交DE于H，如圖2．
∵EF∥DK，F(xiàn)K∥DE，
∴四邊形EFKD是平行四邊形，
∴EF=DK，DE=FK．
∵$\frac{EF}{CD}=\frac{GD}{AE}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴$\frac{DK}{AD}$=$\frac{GD}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵∠A=∠GDK=90°，
∴△GDK∽△EAD，
∴$\frac{GK}{ED}$=$\frac{GD}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠GKD=∠EDA，
∴$\frac{GK}{FK}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠HDK+∠HKD=∠HDK+∠EDA=90°，
∴∠DHK=180°-90°=90°．
∵DE∥FK，
∴∠EMF=∠GFK，∠GKF=∠DHK=90°，
∴tan∠EMF=tan∠GFK=$\frac{GK}{FK}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠EMF=30°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，有一定的綜合性，構(gòu)造平行四邊形EFKD是解決第（3）小題的關(guān)鍵，遇到線段比，通常聯(lián)想到相似三角形，需熟練掌握．