Question

16．如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BC，且AC=BC，CD=4，若將線(xiàn)段DA繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)叫涡�轉(zhuǎn)90°得到DA′，連接BA′，則線(xiàn)段BA′的長(zhǎng)度是4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先證明△ABC和△AA′D為等腰直角三角形，從而求得AB：AC=$\sqrt{2}$，$\frac{AA′}{AD}=\frac{AB}{AC}$，然后再證明∠A′AB=∠DAC，從而可證明△CAD∽△BA′A，最后利用相似三角形的性質(zhì)可求得A′B的長(zhǎng)度．

解答 解：如圖所示：

∵AC⊥BC，且AC=BC，
∴△ABC為等腰直角三角形．
∴$\frac{AB}{AC}=\sqrt{2}$．
∵將線(xiàn)段DA繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)叫涡�轉(zhuǎn)90°得到DA′
∴△AA′D為等腰直角三角形．
∴△ABC∽△AA′D．
∴$\frac{AA′}{AD}=\frac{AB}{AC}$．
又∵∠CAB=∠A′AD，
∴∠A′AB=∠DAC．
∵$\frac{AA′}{AD}=\frac{AB}{AC}$且$\frac{AA′}{AD}=\frac{AB}{AC}$，
∴△CAD∽△BA′A．
∴$\frac{A′B}{CD}=\frac{AB}{AC}$，即：$\frac{A′B}{4}=\sqrt{2}$．
∴A′B=4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定，證得△CAD∽△BA′A是解題的關(guān)鍵．