Question

19．已知：Rt△A′BC′和 Rt△ABC重合，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠BA′C′=∠BAC=30°，現(xiàn)將Rt△A′BC′繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)角α（60°≤α≤90°），設(shè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中射線C′C和線段AA′相交于點(diǎn)D，連接BD．
（1）當(dāng)α=60°時(shí)，A’B 過(guò)點(diǎn)C，如圖1所示，判斷BD和A′A之間的位置關(guān)系，不必證明；
（2）當(dāng)α=90°時(shí)，在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并猜想（1）中的結(jié)論是否仍然成立，不必證明；
（3）如圖3，對(duì)旋轉(zhuǎn)角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的結(jié)論是否仍然成立；若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)α=60°時(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和角的和差得出∠A′DB=90°，得出BD和A′A垂直；
（2）根據(jù)α=90°補(bǔ)全圖形即可；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定得出△AEC≌△A'FC'、△AED≌△A'FD，再根據(jù)等腰三角形的三線合一證明即可．

解答 解：（1）當(dāng)α=60°時(shí)，BD⊥A'A．

（2）補(bǔ)全圖形如圖2，BD⊥A'A仍然成立；

（3）猜想BD⊥A'A仍然成立．
證明：作AE⊥C'C，A'F⊥C'C，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，如圖3，

則∠AEC=∠A'FC'=90°．
∵BC=BC'，
∴∠BCC'=∠BC'C．
∵∠ACB=∠A'C'B=90°，
∴∠ACE+∠BCC'=90°，∠A'C'F+∠BC'C=90°．
∴∠ACE=∠A'C'F．
在△AEC和△A'FC'中，$\left\{\begin{array}{l}∠AEC=∠A'FC'=90°\\∠ACE=∠A'C'F\\ AC=A'C'\end{array}\right.$
∴△AEC≌△A'FC'．
∴AE=A'F．
在△AED和△A'FD中，$\left\{\begin{array}{l}∠AEC=∠A'FD=90°\\∠ADE=∠A'DF\\ AE=A'F\end{array}\right.$
∴△AED≌△A'FD．
∴AD=A'D．
∵AB=A'B，
∴△ABA'為等腰三角形．
∴BD⊥A'A．

點(diǎn)評(píng) 此題考查幾何變換問(wèn)題，用到的知識(shí)點(diǎn)是全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的前后圖形全等、全等三角形的判定以及等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析．