Question

19．已知：作圖題：如圖（1）和（2），P是直線m一動(dòng)點(diǎn)，A．B兩點(diǎn)在m的同側(cè)，且A、B所在直線與m不平行．（不寫(xiě)作法，請(qǐng)保留作圖痕跡．）

（1）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P₁位置時(shí)，距離A點(diǎn)最近；運(yùn)動(dòng)到P₂位置時(shí)，距離B點(diǎn)最近，在圖（1）中的直線m上分別畫(huà)出點(diǎn)P₁、P₂的位置；
（2）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P₃位置時(shí)，與A點(diǎn)的距離和與B點(diǎn)距離相等．請(qǐng)?jiān)趫D（1）中作出P₃位置；
（3）在直線m上是否存在這樣一點(diǎn)P₄，使得到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離之和最��？若存在請(qǐng)?jiān)趫D（2）中作出這點(diǎn)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）在直線m上是否存在這樣一點(diǎn)P₅，使得到B點(diǎn)的距離與到A點(diǎn)的距離之差最大？若存在請(qǐng)?jiān)趫D（2）中作出這點(diǎn)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂線段最短作圖即可；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)作圖即可；
（3）根據(jù)軸對(duì)稱變換的性質(zhì)作圖；
（4）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短作圖．

解答 解：（1）分別過(guò)點(diǎn)A、B作直線m的垂線，垂足分別為P₁、P₂，
則P₁、P₂即為所求；
；      
   （2）作線段AB的垂直平分線交直線m于P₃，
則P₃即為所求；
  ；
（3）作點(diǎn)A關(guān)于直線m對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′交直線m于P₄，
則P₄即為所求；
；       
 （4）連接BA并延長(zhǎng)交直線m于P₅，
則P₅即為所求．
   

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂線段的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、軸對(duì)稱變換，掌握它們的性質(zhì)和基本尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．