Question

7．正方形ABCD的邊長為6cm，點Q在邊BC上，BQ=2QC．
（1）求BQ的長；
（2）如果點P是對角線BD上的一點，且PQ+PC的值最小，請畫圖確定P的位置并加以證明；
（3）求PQ+PC的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知QB=$\frac{2}{3}BC$，從而可求得BQ的長度；
（2）由兩點之間線段最短，將兩線段的長度之和轉(zhuǎn)化為線段AQ的長度；
（3）利用勾股定理求得AQ的長度即可．

解答 解：（1）∵BQ=2QC，
∴BQ=$\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}×6=4$．
（2）如圖所示．連接AQ交BD于點P．

證明：連接PC．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴點A和點C關(guān)于BD對稱．
∴PC=PA．
∴PQ+PC=PA+PQ．
由兩點之間線段最短可知當(dāng)點P在選段AQ上時，PQ+PC有最小值，最小值為AQ的長．
（3）在Rt△ABQ中，AQ=$\sqrt{A{B}^{2}+B{Q}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}=2\sqrt{13}$．

點評 本題主要考查的軸對稱--路徑最短問題、正方形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，將PQ+PC轉(zhuǎn)為AQ的長度是解題的關(guān)鍵．