Question

11．已知拋物線l：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的頂點P的坐標是（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$）與y軸的交點M的坐標是（0，c），我們稱以點M的頂點，對稱軸是y軸且過點P的拋物線與拋物線l的伴隨拋物線，直線PM為拋物線l的伴隨直線的解析式
（1）請直接寫出拋物線y=x²-4x+2的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式：
伴隨拋物線的解析式：
伴隨直線的解析式：
（2）若一條拋物線的伴隨拋物線直線分別是y=-x²+3和y=-x+3，求這條拋物線的解析式
（3）求拋物線l：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式；
（4）若拋物線l：y=ax²-4ax+2a（a≠0）與x軸交于A、B兩點，它的伴隨拋物線與x軸交于C、D兩點，則線段AB與CD相等嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）可先求出拋物線y=x²-4x+2的頂點及與y軸的交點坐標，然后用待定系數(shù)法就可解決問題；
（2）可先求出伴隨拋物線和伴隨直線的交點坐標，然后用待定系數(shù)法就可解決問題；
（3）可先求出拋物線y=ax²+bx+c的頂點及與y軸的交點坐標，然后用待定系數(shù)法就可解決問題；
（4）利用（3）中的結論可求得拋物線y=ax²-4ax+2a的伴隨拋物線的解析式，然后求出這兩個拋物線與x軸的交點坐標，進而求出AB與CD的值，就可解決問題．

解答 解：（1）拋物線y=x²-4x+2的伴隨拋物線的解析式y(tǒng)=-x²+2，伴隨直線的解析式y(tǒng)=-2x+2．
解題過程如下：
拋物線y=x²-4x+2=（x-2）²-2的頂點P為（2，-2），與y軸的交點M為（0，2），
則伴隨拋物線的頂點為（0，2），故伴隨拋物線的解析式可設為y=ax²+2，
∵點P（2，-2）在拋物線y=ax²+2上，
∴4a+2=-2，
∴a=-1，
∴伴隨拋物線的解析式為y=-x²+2；
設伴隨直線的解析式為y=mx+n，
∵直線y=mx+n經(jīng)過P（2，-2）、M（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=-2}\\{n=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴伴隨直線的解析式y(tǒng)=-2x+2；

（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+3}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴M（0，3），P（1，2）．
故可設拋物線的解析式為y=a（x-1）²+2，
∵M（0，3）在拋物線y=a（x-1）²+2上，
∴3=a（0-1）²+2，
解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x-1）²+2=x²-2x+3；

（3）由題可知伴隨拋物線的頂點是（0，c），
故伴隨拋物線的解析式可設為y=mx²+c，
∵伴隨拋物線過點P（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$），
∴m（-$\frac{2a}$）²+c=$\frac{4ac-^{2}}{4a}$，
解得m=-a，
∴伴隨拋物線的解析式為y=-ax²+c；
由題可知伴隨直線過（0，c），
故伴隨直線的解析式可設為y=kx+c，
∵伴隨直線過點P（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$），
∴$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=k•（-$\frac{2a}$）+c，
解得：k=$\frac{2}$，
∴伴隨直線的解析式為y=$\frac{2}$x+c；

（4）AB=CD．
理由：由（3）中的結論可得：
拋物線l：y=ax²-4ax+2a（a≠0）的伴隨拋物線的解析式為y=-ax²+2a．
當y=0時，由ax²-4ax+2a=0即x²-4x+2=0得x=2±$\sqrt{2}$，
∴AB=（2+$\sqrt{2}$）-（2-$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$；
當y=0時，由-ax²+2a=0即x²-2=0得x=±$\sqrt{2}$，
∴CD=$\sqrt{2}$-（-$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$．
∴AB=CD．

點評 本題是一道閱讀理解題，既考查了用待定系數(shù)法求拋物線及直線的解析式、解一元二次方程等知識，又考查了閱讀理解能力，理解新定義是解決本題的關鍵．