Question

20．如圖，已知直線l與⊙O相離，OA垂直于直線l，垂點(diǎn)為點(diǎn)A，OA=5，OA與⊙O相交于點(diǎn)P，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，BP的延長(zhǎng)線交直線l于點(diǎn)C．
（1）試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若PC=2$\sqrt{2}$，求⊙O的半徑和線段PB的長(zhǎng)；
（3）若在⊙O上存在唯一點(diǎn)Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根據(jù)等腰三角形的判定推出即可；
（2）延長(zhǎng)AP交⊙O于D，連接BD，設(shè)圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5-r，根據(jù)AB=AC推出5²-r²=（2$\sqrt{2}$）²-（5-r）²，求出r，證△DPB∽△CPA，得出$\frac{CP}{PD}$=$\frac{AP}{BP}$，代入求出即可；
（3）作線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，求出OE=$\frac{1}{2}$．根據(jù)圓O要與直線MN有唯一交點(diǎn)，得出方程$\frac{1}{2}$=r，求出即可．

解答 解：（1）AB=AC，理由如下：
如圖1，連接OB．
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA=∠OAC=90°，
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB，
∵∠OPB=∠APC，
∴∠ACP=∠ABC，
∴AB=AC；

（2）如圖2．延長(zhǎng)AP交⊙O于D，連接BD，
設(shè)圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5-r，
則AB²=OA²-OB²=5²-r²，
AC²=PC²-PA²=（2$\sqrt{2}$）²-（5-r）²，
∴5²-r²=（2$\sqrt{2}$）²-（5-r）²，
解得：r=4.2，
∴AB=AC=4，
∵PD是直徑，
∴∠PBD=90°=∠PAC，
又∵∠DPB=∠CPA，
∴△DPB∽△CPA，
∴$\frac{CP}{PD}$=$\frac{AP}{BP}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}}{4.2×2}$=$\frac{5-4.2}{BP}$，
解得：PB=1.68$\sqrt{2}$．
∴⊙O的半徑為4.2，線段PB的長(zhǎng)為1.68$\sqrt{2}$；

（3）如圖3，作線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，
則OE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{5}^{2}-{r}^{2}}$．
又∵圓O要與直線MN有唯一交點(diǎn)，
∴OE=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{5}^{2}-{r}^{2}}$=r，
∴r=$\sqrt{5}$，
即⊙O的半徑是$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．