Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的頂點(diǎn)A、B在x軸上，點(diǎn)D在y軸上，AB∥CD，直線BC表達(dá)式為y=-$\frac{4}{3}$x+16，點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別為（-16，0）、（0，12），動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿四邊形ABCD邊BC-CD-DA方向，同時開始運(yùn)動，速度均為每秒1個單位．當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時兩個動點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t．
（1）當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C過程中，設(shè)線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為M．
①求點(diǎn)M坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；
②判斷此時點(diǎn)M是否都在某一次函數(shù)圖象上運(yùn)動？若是，請求出此時的一次函數(shù)表達(dá)式；若不是，請說明理由．
③過點(diǎn)M作直線l⊥PQ．判斷直線l是否經(jīng)過某一定點(diǎn)？若是請求出此定點(diǎn)，若不是請說明理由．
（2）在整個運(yùn)動過程中，以PQ為直線的圓能否相切于四邊形ABCD邊上一點(diǎn)，若能請求出滿足條件的t值，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①直線BC表達(dá)式為y=-$\frac{4}{3}$x+16，當(dāng)y=0時，0=-$\frac{4}{3}$x+16，解得x=12，可得B（12，0），當(dāng)y=12時，12=-$\frac{4}{3}$x+16，解得x=3，可得C（3，12），得到P的坐標(biāo)（-16+t，0），Q的坐標(biāo)（12-0.6t，0.8t）（直線斜率為-$\frac{4}{3}$，運(yùn)動速度為1，則Q在x軸方向向左移動0.6，向上移動0.8），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得M的坐標(biāo)；
②記M（x₀，y₀），x₀=2+0.2t，y₀=0.4t，得到y(tǒng)₀=2x₀+4，從而得到點(diǎn)M在某一次函數(shù)y=2x+4上；
③k₁=$\frac{1.6t-28}{0.8t}$，l過點(diǎn)M（-2+0.2t，0.4t），用點(diǎn)斜式得$\frac{y-0.4t}{x+2-0.2t}$=$\frac{1.6t-28}{0.8t}$，得到y(tǒng)=$\frac{2t-35}{t}$x+11-$\frac{70}{t}$，
則x=-2時，y=7，可得l經(jīng)過點(diǎn)（-2，7）；
（2）分四種情況：①點(diǎn)PQ⊥AB時；②BC⊥PQ（0≤t≤15）時；③PQ⊥CD（15＜t＜18）時；④PQ⊥DA（18≤t≤28）時．進(jìn)行討論可求t的值．

解答 解：（1）①∵直線BC表達(dá)式為y=-$\frac{4}{3}$x+16，
當(dāng)y=0時，0=-$\frac{4}{3}$x+16，解得x=12，
∴B（12，0），
當(dāng)y=12時，12=-$\frac{4}{3}$x+16，解得x=3，
∴C（3，12），
∵點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別為（-16，0）、（0，12），AB＞BC，
∴P的坐標(biāo)（-16+t，0），Q的坐標(biāo)（12-0.6t，0.8t）（直線斜率為-$\frac{4}{3}$，運(yùn)動速度為1，則Q在x軸方向向左移動0.6，向上移動0.8），
∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得M（-2+0.2t，0.4t）；
②是，記M（x₀，y₀），x₀=2+0.2t，y₀=0.4t，
∴y₀=2x₀+4，
∴點(diǎn)M在某一次函數(shù)y=2x+4上；
③k₁=$\frac{1.6t-28}{0.8t}$，l過點(diǎn)M（-2+0.2t，0.4t），用點(diǎn)斜式得$\frac{y-0.4t}{x+2-0.2t}$=$\frac{1.6t-28}{0.8t}$，
整理得-0.8ty=（28-1.6t）x+56-8.8t，
y=$\frac{2t-35}{t}$x+11-$\frac{70}{t}$，
x=-2時，y=7，
∴l(xiāng)經(jīng)過點(diǎn)（-2，7）；
（2）P的坐標(biāo)（-16+t，0）（0≤t≤28）
Q的坐標(biāo)（12-0.6t，0.8t）（0≤t≤15），（18-t，12）（15＜t＜18），（14.4-0.8t，-0.6t+2）（18≤t≤28），
①點(diǎn)PQ⊥AB時，P，Q橫坐標(biāo)相等，t=17；
②BC⊥PQ（0≤t≤15）時，k_PQ=$\frac{3}{4}$，解得t=10.5；
③PQ⊥CD（15＜t＜18）時，P，Q橫坐標(biāo)相等，t=17與①重復(fù)；
④PQ⊥DA（18≤t≤28）時，k_QP=-$\frac{4}{3}$，t=19．
綜上所述，t為10.5，17，19時，以PQ為直徑的圓相切于四邊形ABCD邊上一點(diǎn)．

點(diǎn)評 考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識點(diǎn)有：直線斜率，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，方程思想，分類思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．