Question

11．如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng)，M、N分別是AE、PE的中點(diǎn)，線段MN長(zhǎng)度的最大值是$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 由條件可先求得MN=$\frac{1}{2}$AP，則可確定出當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，PA有最大值，即可求得MN的最大值．

解答 解：
∵M(jìn)為AE中點(diǎn)，N為EP中點(diǎn)，
∴MN為△AEP的中位線，
∴MN=$\frac{1}{2}$AP．
若要MN最大，則使AP最大．
∵P在CD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C時(shí)PA最大，
此時(shí)PA=CA是矩形ABCD的對(duì)角線，
∴AC=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴MN的最大值=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{13}$，
故答案為：$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查矩形的性質(zhì)和三角形中位線定理，由條件確定出當(dāng)MN有最大值時(shí)P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．