Question

1．如圖，已知直線y=ax+b與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點（A與B不重合），直線AB與x軸交于P（x₀，0），與y軸交于點C．已知A，B兩點的坐標分別為（1，3），（3，y₂）．
（1）求點P的坐標；
（2）求三角形OAB的面積；
（3）在x軸上找到一點H，使HA+HB的值最小，求出符合條件的點H的坐標及HA+HB的值的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）根據(jù)S_△OAB=S_△OAP-S_△OBP計算即可．
（3）作點B關(guān)于x軸的對稱點B′，連接AB′交x軸于H，連接BH，參數(shù)AH+HB的值最�。�求出直線AB′的解析式即可解決問題．

解答 解：（1）把A（1，3）代入y=$\frac{k}{x}$中，得到k=3，
當x=3時，y=1，
∴B（3，1），
設(shè)直線AB的解析式為y=ax+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{3a+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-x+4，
令y=0，得到x=4，
∴P（4，0）．

（2）S_△OAB=S_△OAP-S_△OBP=$\frac{1}{2}$•4•3-$\frac{1}{2}$•4•1=4．

（3）作點B關(guān)于x軸的對稱點B′，連接AB′交x軸于H，連接BH，參數(shù)AH+HB的值最小．
設(shè)直線AB′的解析式為y=mx+n，則有$\left\{\begin{array}{l}{m+n=3}\\{3m+n=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=5}\end{array}\right.$，
∴y=-2x+5，令y=0得到，x=$\frac{5}{2}$，
∴H（$\frac{5}{2}$，0），
AH+BH的最小值=AB′=$\sqrt{（1-3）^{2}+（3+1）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學(xué)會利用對稱解決最短問題，屬于中考常考題型．