Question

6．綜合與實(shí)踐：
問題情境：
    在綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形紙片的剪拼”為主題展開教學(xué)活動(dòng)，如圖1，將一張正方形紙片ABCD沿對(duì)角線BD剪開，得到△ABD和△BCD，點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)．
操作發(fā)現(xiàn)：
（1）將圖（1）中的△BCD沿DA方向平移，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O′，B′D′與AB交于點(diǎn)P，D′C與BD交于點(diǎn)Q，得到圖（2），則四邊形D′PBQ的形狀是平行四邊形．
（2）“實(shí)踐小組”的同學(xué)將圖（1）中的△BCD以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到△B′C′D，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O′，B′C′與AB交于點(diǎn)E，連接AO，O′C′交于點(diǎn)F，得到圖（3），發(fā)現(xiàn)四邊形AEC′F是菱形，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論．
實(shí)踐探究：
（3）“創(chuàng)新小組”在實(shí)踐小組操作的基礎(chǔ)上，將圖（3）中的△B′C′D以點(diǎn)C′為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得C′D′⊥AD，垂足為M，B′C′⊥AB，垂足為N，分別連接OM，MO′，O′N，ON，得到圖（4），他們認(rèn)為四邊形OMO′N是正方形．“創(chuàng)新小組”的發(fā)現(xiàn)是否正確？請(qǐng)你說明理由．
（4）請(qǐng)你參照以上操作，將圖（1）中的△BCD在同一平面內(nèi)進(jìn)行一次圖形變換，得到△B′C′D′，在圖（5）中畫出圖形變換后構(gòu)造出的新圖形．標(biāo)明字母，說明圖形變換及構(gòu)圖方法，寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，不必證明．

Answer 1

分析 （1）利用平移的性質(zhì)直接得出結(jié)論；
（2）先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)得出四邊形AEC′F是平行四邊形，再判斷出△AB′E≌△C′BE即可得出結(jié)論；
（3）利用性質(zhì)和正方形的性質(zhì)判斷出△OAM≌△O′D′M≌△O′C′N≌△OBN即可得出OM=O′M=O′N=ON，∠MOA=∠NOB，再判斷出∠NOM=90°即可得出結(jié)論；
（4）作出△BCD沿BD方向平移的△B'C'D'，用全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵△B'C'D'是△BCD平移得到，
∴B'D'∥BD，AD∥B'C'，
∴四邊形PBQD'是平行四邊形，
故答案為平行四邊形；                           

（2）∵四邊形ABCD為正方形，∠ADB=∠CDB=45°，
∴將△BCD以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后，點(diǎn)C′落在BD上，點(diǎn)B′落在DA的延長線上．
∵AB⊥AD，C′O′⊥AD，
∴AB∥O′C′．
∵B′C′⊥BD，AO⊥BD，
∴B′C′∥AO．
∴四邊形AEC′F是平行四邊形．
∵BD=B′D′，AD=C′D，
∴AB′=BC′，
又∵∠EAB′=∠EC′B，∠B=∠B′=45°，
∴△AB′E≌△C′BE，
∴AE=EC′，
∴四邊形AEC′F菱形．

（3）“創(chuàng)新小組”的發(fā)現(xiàn)是正確的．
如圖1，連接OA，O′C′，則四邊形ANC′M是矩形．
∵△C′MD，△AB′N是等腰直角三角形．
∴DM=MC′，AN=B′N，
又∵AB=B′C′=C′D′=AD，
∴AM=D′M=BN=NC′．
又∵OA=OD=OB，O′C′=O′D′=O′B′，
∴OA=O′C′，
∵∠OAD=∠O′D′M=∠O′C′N=∠B=45°，
∴△OAM≌△O′D′M≌△O′C′N≌△OBN，
∴OM=O′M=O′N=ON，∠MOA=∠NOB
又∵OA⊥BD，∠AOB=90°，
∴∠NOM=90°，
∴四邊形NOMO′是正方形．

（4）如圖2所示．
構(gòu)圖方法：將△BCD沿BD方向平移，得到△B′C'D′，
連接AB′、DC'．
結(jié)論：四邊形AB′C'D是平行四邊形．
理由：∵△B'C'D'是△BCD沿BD方向平移所得，∴AD=B'C'，AD∥B'C'，∴∠ADB'=∠C'B'D，
在△AB'D和△CDB'中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=C'B'}\\{∠ADB'=∠C'B'D}\\{B'D=DB'}\end{array}\right.$，
∴△AB'D≌△CDB'，
∴AD=C'B'，
∵AD∥B'C'，
∴四邊形AB′C'D是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，平移，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是利用平移的性質(zhì)，解（2）的關(guān)鍵是判斷出四邊形AEC′F是平行四邊形，解（3）的關(guān)鍵是△OAM≌△O′D′M≌△O′C′N≌△OBN，解（4）的關(guān)鍵是作出圖形．