Question

16．在等邊△ABC中，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，連接BD，直線l與AB，BD，BC分別相交于點(diǎn)E，P，F(xiàn)，且∠BPF=60°．
（1）如圖（1），寫出圖中所有與△BPF相似的三角形，并選擇其中一對(duì)給予證明；
（2）若直線l向右平移到圖（2），圖（3）的位置時(shí)（其它條件不變），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出來(lái)（不需證明），若不成立，請(qǐng)說明理由；
（3）探究：如圖（1），當(dāng)BD滿足什么條件時(shí)（其它條件不變），EF=$\sqrt{3}$BF？請(qǐng)寫出探究結(jié)果，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先判斷出∠BPF=∠EBF=60°，再結(jié)合公共角即可得出結(jié)論；
（2）同（2）的方法即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出∠BEF=30°，再利用銳角三角函數(shù)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，
理由：∵等邊△ABC中，∴∠EPF=60°，
∴∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，
∴△BPF∽△EBF，
同理：△BPF∽△BCD
（2）成立，△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，
理由：∵等邊△ABC中，∴∠EPF=60°，
∴∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，
∴△BPF∽△EBF，
同理：△BPF∽△BCD
（3）當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)，EF=$\sqrt{3}$BF，
理由：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBF=30°，
∵∠BPF=60°，∠BFP=90°，
∴∠BEF=60°-30°=30°，
在Rt△BEF中，∠EBF=60°，
∴tan60°=$\frac{EF}{BF}$，
即：EF=$\sqrt{3}$BF．

點(diǎn)評(píng) 此題是相似形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，銳角三角函數(shù)的意義，解本題的關(guān)鍵是求出∠EBF=60°，是一道比較簡(jiǎn)單的題目．