Question

17．已知△ABC為邊長為6的等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE=x，連接
DE并延長至點(diǎn)F，使EF=AE，連接AF、CF．
（1）求證：△AEF為等邊三角形；
（2）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；
（3）記△CEF的面積為S，
①求S與x的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)S有最大值時(shí)，判斷CF與BC的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC=BC，∠ACB=60°，根據(jù)對頂角相等和等邊三角形的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明即可；
（3）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)分別求出S_△CDF和S_△CDE，計(jì)算求出S與x的函數(shù)關(guān)系式；
②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出S有最大值時(shí)x的值，根據(jù)垂直的定義判斷即可．

解答 （1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠ACB=60°，
∵CD=CE，
∴△CDE為等邊三角形，
∴∠CED=60°，
∠AEF=60°，又AE=EF，
∴△AEF為等邊三角形；
（2）∵∠FAC=60°，
∴∠FAC=∠ACB=60°，
∴AF∥BC，
∵∠CED=∠CAB=60°，
∴AB∥BF，
∴四邊形ABDF為平行四邊形；
（3）①作AH⊥BC于H，
∵△ABC為邊長為6的等邊三角形，
∴AH=3$\sqrt{3}$，
∴S_△CDF=$\frac{1}{2}$×CD×AH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x，
∵△CDE為等邊三角形，CD=x，
∴S_△CDE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，
∴△CEF的面積S=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²；
②CF⊥BC．
x=-$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{2×\frac{\sqrt{3}}{4}}$=3時(shí)，S最大，
∴CD=CE=3，
∵△CDE為等邊三角形，
∴DE=CD=CE=3，
∵E為AC的中點(diǎn)，
∴AE=CE=3
∴AE=EF=3
∴CE=DE=EF=3，
∴∠CDE=∠ECD，
∠ECF=∠EFC，
∵∠CDE+∠ECD+∠CCF+∠EFC=180°，
∴2∠ECD+2∠ECF=180°，
∴∠ECD+∠ECF=90°，即∠DCF=90°，
∴CF⊥BC．

點(diǎn)評 本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及垂直的定義，靈活運(yùn)用相關(guān)的定理和性質(zhì)、掌握等邊三角形的三個(gè)角都是60°、三條邊都相等是解題的關(guān)鍵．