Question

7．如圖，拋物線y₁=-x2+a與x軸正半軸交于點A，與y軸交于點B，點C（2，-3）在拋物線y₁的圖象上，連接AB，OC．
（1）求拋物線y₁的函數(shù)表達式；
（2）若點P在x軸上，且∠CPA=∠OBA，求所有滿足條件的點P的坐標(biāo)；
（3）將拋物線y₁沿x軸向右平移后得拋物線y₂，且拋物線y₂的圖象過點C．
①請直接寫出拋物線y₂的函數(shù)表達式；
②點Q在拋物線y₂的圖象上，且△OCQ是以O(shè)C為底邊的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點Q的橫坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出點A、B的坐標(biāo)，然后求出∠OBA=45°，再根據(jù)∠CPA=∠OBA分點P在點A的左邊和右邊兩種情況求解；
（3）①根據(jù)拋物線平移的性質(zhì)即可求得；②已知了等腰三角形是以O(shè)C為底邊的等腰三角形，因此Q點必為OC的垂直平分線與拋物線y₂的交點，可先求出OC的垂直平分線的解析式，然后聯(lián)立拋物線的解析式即可求出符合條件的Q點的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點C（2，-3）在拋物線y₁的圖象上，
∴-3=-2²+a，解得a=1，
∴拋物線y₁的函數(shù)表達式y(tǒng)₁=-x²+1，
（2）x=0時，y=1，
y=0時，-x²+1=0，解得x₁=1，x₂=-1，
所以，點A（1，0），B（0，1），
∴∠OBA=45°，
∵點C的坐標(biāo)為（2，-3），
∵∠CPA=∠OBA，
∴點P在點A的左邊時，坐標(biāo)為（-1，0），
在點A的右邊時，坐標(biāo)為（5，0），
所以，點P的坐標(biāo)為（-1，0）或（5，0）；
（3）①∵點C（2，-3）關(guān)于y軸的對稱點為（-2，-3），
∴拋物線y₁沿x軸向右平移4個單位后得拋物線y₂，且拋物線y₂的圖象過點C，
∴拋物線y₂的函數(shù)表達式為y=-（x-4）²+1；
②點Q應(yīng)在線段OC的垂直平分線上，由題意可知，QR⊥OC且平分OC，
∴點P在直線QR上．
∵C（2，-3），
∴OC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，R（1，-$\frac{3}{2}$）
∴OR=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∵△ORS∽△OEC，
∴$\frac{OS}{OC}$=$\frac{OR}{OE}$，即$\frac{OS}{\sqrt{13}}$=$\frac{\frac{\sqrt{13}}{2}}{3}$，
∴OS=$\frac{13}{6}$，
∴S（0，-$\frac{13}{6}$）
∴直線QR的解析式為y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{13}{6}$，
又點Q是直線y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{13}{6}$與拋物線y=-（x-4）²+1的交點，
故可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-（x-4）^{2}+1}\\{y=\frac{2}{3}x-\frac{13}{6}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{22+\sqrt{22}}{6}}\\{{y}_{1}=\frac{5+2\sqrt{22}}{18}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{22-\sqrt{22}}{6}}\\{{y}_{2}=\frac{5-2\sqrt{22}}{18}}\end{array}\right.$；
故符合條件的點Q的橫坐標(biāo)為$\frac{22+\sqrt{22}}{6}$或$\frac{22-\sqrt{22}}{6}$．

點評 本題著重考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式、圖形平移變換、等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識點，求得二次函數(shù)的解析式以及平移后的解析式是本題的關(guān)鍵，（3）通過三角形相似求得S的坐標(biāo)進而求得解析式是本題的難點．