Question

3．如圖，E、F、G分別是正方形ABCD邊AD、DC、AB的中點，BE交AF于H點，則下列結(jié)論：①BE=AF；②GH=GA；③CB=CH；④AE=2HE．其中結(jié)論正確的是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ②③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 由正方形的性質(zhì)和已知條件證出△ABE≌△DAF，得出BE=AF，①正確；
由全等三角形的性質(zhì)和角的互余關(guān)系得出∠AHB=90°，得出②正確；
證出四邊形AGCF是平行四邊形，得出AF∥GC，證出BE⊥GC，得出GC是BH的垂直平分線，得出③正確；
由HE與CD不平行，得出④不正確；即可得出結(jié)論．

解答 解：①正確；理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，∠BAE=∠D=90°，
∵E、F分別是正方形ABCD邊AD、DC的中點，
∴AE=$\frac{1}{2}$DA，DF=$\frac{1}{2}$CD，
∴AE=DF，
在△ABE和△DAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DA}&{\;}\\{∠BAE=∠D}&{\;}\\{AE=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴BE=AF；
②正確；理由如下：
∵△ABE≌△DAF，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠BAH+∠DAF=90°，
∴∠BAH+∠ABE=90°，
∴∠AHB=90°，
即BE⊥AF，
∵G是AB的中點，
∴GH=$\frac{1}{2}$AB=GA；
③正確；理由如下：
∵F、G分別是正方形ABCD邊DC、AB的中點，
∴GA=GB=$\frac{1}{2}$AB，CF=$\frac{1}{2}$CD，
∴AG=CF，
又∵AG∥CF，
∴四邊形AGCF是平行四邊形，
∴AF∥GC，
∵BE⊥AF，
∴BE⊥GC，
∵GH=GA，
∴GB=GH，
∴GC是BH的垂直平分線，
∴CB=CH；
④不正確；理由如下：
∵HE與CD不平行，
∴HE≠$\frac{1}{2}$DF，
∴HE≠$\frac{1}{2}$AE；
正確的是①②③，
故選：A．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)；本題綜合性強，有一定難度．