Question

5．如圖，已知點(diǎn)D在雙曲線y=$\frac{20}{x}$（x＞0）的圖象上，以D為圓心的⊙D與y軸相切于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且線段AP與BC所在直線有交點(diǎn)Q．
（1）寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)并求出拋物線的解析式；
（2）證明∠ACO=∠OBC；
（3）探究是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)Q為線段AP的四等分點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是4，所以由反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可以求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸，垂足為E，連接AD，BD，易得出A，B的坐標(biāo)，即可求出拋物線的解析式；
（2）連接AC，tan∠ACO=$\frac{OA}{CO}$=$\frac{1}{2}$，tan∠CBO=$\frac{CO}{OB}$=$\frac{1}{2}$，即可得出∠ACO=∠CBO．
（3）分別過(guò)點(diǎn)Q，P作QF⊥x軸，PG⊥x軸，垂足分別為F，G，設(shè)P（t，$\frac{1}{4}$t²-$\frac{5}{2}$t+4），分三種情況①AQ：AP=1：4，②AQ：AP=2：4，③AQ：AP=3：4，分別求解即可．

解答 解：（1）∵以D為圓心的⊙D與y軸相切于點(diǎn)C（0，4），
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是4，
又∵點(diǎn)D在雙曲線y=$\frac{20}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴4=$\frac{20}{x}$，
解得x=5，
故點(diǎn)D的坐標(biāo)是（5，4）．
如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸，垂足為E，連接AD，BD，

在RT△DAE中，DA=5，DE=4，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=3，
∴OA=OE-AE=2，OB=OA+2AE=8，
∴A（2，0），B（8，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-8），由于它過(guò)點(diǎn)C（0，4），
∴a（0-2）（0-8）=4，解得a=$\frac{1}{4}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{5}{2}$x+4．
（2）如圖2，連接AC，

在RT△AOC中，OA=2，CO=4，
∴tan∠ACO=$\frac{OA}{CO}$=$\frac{1}{2}$，
在RT△BOC中，OB=8，CO=4，
∴tan∠CBO=$\frac{CO}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ACO=∠CBO．
（3）∵B（8，0），C（0，4），
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4，
如圖3，分別過(guò)點(diǎn)Q，P作QF⊥x軸，PG⊥x軸，垂足分別為F，G，

設(shè)P（t，$\frac{1}{4}$t²-$\frac{5}{2}$t+4），
①AQ：AP=1：4，則易得Q（$\frac{t+6}{4}$，$\frac{{t}^{2}-10t+16}{16}$），
∵點(diǎn)Q在直線y=-$\frac{1}{2}$x+4上，
∴-$\frac{1}{2}$$\frac{t+6}{4}$+4=$\frac{{t}^{2}-10t+16}{16}$，整理得t²-8t-36=0，
解得t₁=4+2$\sqrt{13}$，t₂=4-2$\sqrt{13}$，
∴P₁（4+2$\sqrt{13}$，11-$\sqrt{13}$），P₂（4-2$\sqrt{13}$，11+$\sqrt{13}$），
②AQ：AP=2：4，則易得Q（$\frac{t+2}{2}$，$\frac{{t}^{2}-10t+16}{8}$），
∵點(diǎn)Q在直線y=-$\frac{1}{2}$x+4上，
∴-$\frac{1}{2}$•$\frac{t+2}{2}$+4=$\frac{{t}^{2}-10t+16}{8}$，
整理得t²-8t-12=0，解得P₃=4+2$\sqrt{7}$，P₄=4-2$\sqrt{7}$，
∴P₃（4+2$\sqrt{7}$，5-$\sqrt{7}$），P₄（4-2$\sqrt{7}$，5+$\sqrt{7}$）；
③AQ：AP=3：4，則易得Q（$\frac{3t+2}{4}$，$\frac{3{t}^{2}-30t+48}{16}$），
∵點(diǎn)Q在直線y=-$\frac{1}{2}$x+4上，
∴-$\frac{1}{2}$•$\frac{3t+2}{4}$+4=$\frac{3{t}^{2}-30t+48}{16}$，整理得t²-8t-4=0，解得t₅=4+2$\sqrt{5}$，t₆=4-2$\sqrt{5}$，
∴P₅（4+2$\sqrt{5}$，3-$\sqrt{5}$），P₆（4-2$\sqrt{5}$，3+$\sqrt{5}$），
綜上所述，拋物線上存在六個(gè)點(diǎn)P，使Q為線段AP的四等分點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為P₁（4+2$\sqrt{13}$，11-$\sqrt{13}$），P₂（4-2$\sqrt{13}$，11+$\sqrt{13}$），P₃（4+2$\sqrt{7}$，5-$\sqrt{7}$），P₄（4-2$\sqrt{7}$，5+$\sqrt{7}$）；P₅（4+2$\sqrt{5}$，3-$\sqrt{5}$），P₆（4-2$\sqrt{5}$，3+$\sqrt{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及雙曲線，一次函數(shù)，三角函數(shù)及二次函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是分三種情況討論求解．