Question

1．已知：△ABC是等腰直角三角形，四邊形BDEF是正方形，P是EC的中點(diǎn)．

（1）如圖a，當(dāng)B、D、C在同一直線上時(shí)，請?zhí)骄縋A和PD的數(shù)量關(guān)系有PA=PD，位置關(guān)系有PA⊥PD．
（2）如圖b，把等腰直角△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C恰好在射線FE上時(shí)：
問題①：（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？請加以證明．
問題②：若正方形BDEF的面積為1，等腰直角△ABC的面積為y，PC的長為x，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）如圖c，把等腰直角△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到一般位置時(shí)，請直接寫出（1）中得到的結(jié)論一定成立（填“成立”或“不成立”）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)求得PA=PC，∠PAC=∠PCA，PD=PC，∠PCD=∠PDC，進(jìn)而就可證得PA=PD，PA⊥PD．
（2），在BF上截取BG=CP，連接AG、DG，先證得△ABG≌△ACP，得出AG=AP，∠BAG=∠CAP，進(jìn)而證得∠GAP=90°，再證得△DBG≌△DEP，得出DG=DP，∠BDG=∠EDP進(jìn)而證得∠GDP=90°，然后證得四邊形AGDP是正方形，即可證得PA=PD，PA⊥PD．
（3）將△PDE繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使E和B重合，P到G位置，連接AG，然后證得△AGB≌△APC，得出AG=AP，∠GAB=∠PAC，進(jìn)而證得∠GAP=90°，然后證得四邊形AGDP是正方形，即可證得PA=PD，PA⊥PD．

解答 解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EAC=90°，
∵P是EC的中點(diǎn)，
∴PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
∵四邊形BDEF是正方形，
∴∠EDC=90°，
同理證得：PD=PC，∠PCD=∠PDC，
∵∠ACP+∠PCD=∠ACB=45°，
∴∠APD=∠PAC+∠PCA+∠PCD+∠PDC=2∠ACB=90°，
∴PA⊥PD，
故答案為：PA=PD，PA⊥PD．
（2）①成立；
如圖b，在BF上截取BG=CP，連接AG、DG，
∵∠BAC=∠F=90°，∠AOC=∠BOF，
∴∠FBA=∠ACP，
在△ABG和△ACP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABG=∠ACP}\\{BG=CP}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ACP（SAS），
∴AG=AP，∠BAG=∠CAP，
∵∠BAC=90°，
∴∠GAP=90°，
∵BG=CP，EP=CP，
∴GB=EP，
在△DBG和△DEP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=EP}\\{∠DBG=∠DEP=90°}\\{BD=DE}\end{array}\right.$，
∴△DBG≌△DEP（SAS），
∴DG=DP，∠BDG=∠EDP，
∵∠BDE=90°，
∴∠GDP=90°，
∴∠AGP=∠APG=∠DGP=∠DPG=45°，
∴∠AGD=∠APD=90°，
∴四邊形AGDP是正方形，
∴PA=PD，PA⊥PD，
（3）成立；
如圖c，將△PDE繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使E和B重合，P到G位置，連接AG，
則∠DGB=∠DPE，∠PDE=∠GDB，DG=DP，
∵∠APE=90°-∠EPD，
∴∠APC=180°-∠APE=90°+∠EPD，
∵∠AGB=90°+∠DGB，
∴∠AGB=∠APC，
在△AGB和△APC中，
$\left\{\begin{array}{l}{GB=PC}\\{∠AGB=∠APC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AGB≌△APC（SAS），
∴AG=AP，∠GAB=∠PAC，
∴∠GAP=90°，
∴四邊形AGDP是正方形，
∴PA=PD，PA⊥PD．

點(diǎn)評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，找出全等三角形是解題的關(guān)鍵．