Question

17．已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，1），且與x軸交于不同的兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0）
（1）求c的值；
（2）求a的取值范圍；
（3）該二次函數(shù)的圖象與直線y=1交于C、D兩點(diǎn)，CB與AD的交于點(diǎn)P，記P點(diǎn)到直線CD的距離為PM，到x軸的距離為PN，若0＜a＜1，求當(dāng)PM²+$\frac{3}{2}$PN有最小值時(shí)此二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （1）把C（0，1）代入拋物線即可求出c；
（2）把A（1，0）代入得到0=a+b+1，推出b=-1-a，求出方程ax²+bx+1=0，的b²-4ac的值即可；
（3）把y=1代入拋物線得到方程ax²+（-1-a）x+1=1，求出方程的解，進(jìn)一步求出CD過P作MN⊥CD于M，交x軸于N，根據(jù)△CPD∽△BPA，得出$\frac{PM}{PN}$=$\frac{CD}{AB}$，可用a表示出PN、PM的長，可用a表示出PM²+$\frac{3}{2}$PN，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得a的值，可求得拋物線的解析式．

解答 解：
（1）把C（0，1）代入拋物線得：1=0+0+c，
解得：c=1，
∴c的值是1；
（2）解把A（1，0）代入得：0=a+b+1，
∴b=-1-a，
即ax²+（-1-a）x+1=0，
b²-4ac=（-1-a）²-4a=a²-2a+1＞0，
∴a≠1，
∴a的取值范圍是a＞0，且a≠1；
（3）∵ax²+（-1-a）x+1=0，
∴（ax-1）（x-1）=0，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)是（$\frac{1}{a}$，0）而A點(diǎn)坐標(biāo)（1，0）
所以AB=$\frac{1}{a}$-1=$\frac{1-a}{a}$，
把y=1代入拋物線得：ax²+（-1-a）x+1=1，
解得：x₁=0，x₂=$\frac{1+a}{a}$，
∴過P作MN⊥CD于M，交x軸于N，
則MN⊥X軸，
∵CD∥AB，
∴△CPD∽△BPA，
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{CD}{AB}$，
∴$\frac{1-PN}{PN}$=$\frac{\frac{1+a}{a}}{\frac{1-a}{a}}$，
∴PN=$\frac{1-a}{2}$，PM=$\frac{1+a}{2}$，
令S=PM²+$\frac{3}{2}$PN，
∴S=（$\frac{1+a}{2}$）²+$\frac{3}{2}$×$\frac{1-a}{2}$=$\frac{{a}^{2}-a+4}{4}$=$\frac{1}{4}$（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{15}{16}$，
∵$\frac{1}{4}$＞0，
∴S是開口向上的拋物線，且0＜a＜1，
∴當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，S有最小值，
∴b=-1-a=-1-$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
∴此時(shí)二次函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1．

點(diǎn)評 本題主要考查對用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，解二元一次方程組，解一元一次方程，相似三角形的性質(zhì)和判定，根的判別式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)等知識點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，此題是一個(gè)綜合性比較強(qiáng)的題目，題型較好，難度適中．