Question

12．如圖，直線y=k₁x+b與雙曲線y=$\frac{{k}_{2}}{x}$相交于A（1，3），B（m，-1）兩點．
（1）求直線和雙曲線的解析式；
（2）點C為x軸正半軸上一點，連接AO，AC，且AO=AC，求S_△AOC；
（3）設(shè)直線y=k₁x+b與x軸的交點D；在雙曲線上是否存在合適的點P，使S_△PDO=S_△AOC？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出雙曲線的解析式，即可求出m的值，再利用A，B的坐標(biāo)求出直線的解析式．
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和S_△AOE=$\frac{1}{2}$|k|，即可求得．
（3）求得D的坐標(biāo)，然后根據(jù)已知條件得出$\frac{1}{2}$×2×|y_P|=3，即可求得P的縱坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式即可求得坐標(biāo)．

解答 解：（1）把A（1，3）代入雙曲線y=$\frac{{k}_{2}}{x}$，得3=$\frac{{k}_{2}}{1}$，解得k₂=3，
∴雙曲線y=$\frac{3}{x}$，
∵B（m，-1），
∴-1=$\frac{3}{m}$，解得，m=-3，
∴B（-3，-1）
把A（1，3）、B（-3，-1）代入y=k₁x+b得
$\left\{\begin{array}{l}{3={k}_{1}+b}\\{-1=-3{k}_{1}+b}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=1}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴直線的解析式為：y=x+2．
（2）如圖，過點A作AE⊥OC于點E，
∵AO=AC，
∴OE=EC，
∵點A在雙曲線y=$\frac{3}{x}$圖象上，
∴$\frac{1}{2}$OE•AE=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$CE•AE=$\frac{3}{2}$，
∴S_△AOC=3；
（3）如圖，由直線y=x+2可知D（-2，0），
∴OD=2，
∵S_△PDO=S_△AOC，S_△AOC，=3，
∴$\frac{1}{2}$OD•|y_P|=3，
∴|y_P|=3，
把y=3代入雙曲線y=$\frac{3}{x}$，解得x=1，
把y=-3代入雙曲線y=$\frac{3}{x}$，解得x=-1，
∴P點的坐標(biāo)為（1，3）或（-1，-3）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式以及三角形的面積，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．