Question

7．已知：拋物線y₁=x²以點C為頂點且過點B，拋物線y₂=a₂x²+b₂x+c₂以點B為頂點且過點C，分別過點B、C作x軸的平行線，交拋物線y₁=x²、y₂=a₂x²+b₂x+c₂于點A、D，E、F分別為AB、CD中點，連結(jié)EC、BF，且AE=BF．

（1）如圖1，①求證：四邊形ECFB為正方形；②求點A的坐標；
（2）①如圖2，若將拋物線“y₁=x²”改為“y₁=x²+1”，其他條件不變，求CD的長；
②如圖3，若將拋物線“y₁=x²”改為“y₁=-$\frac{1}{3}{x^2}+{b_1}x+{c_1}$”，其他條件不變，求a₂的值；
（3）若將拋物線“y₁=x²”改為拋物線“y₁=a₁x²+b₁x+c₁”，其他條件不變，請用含b₂的代數(shù)式表示b₁．

Answer 1

分析 （1）①由于AB∥x軸，顯然點A、B關(guān)于拋物線y₁=x²的對稱軸對稱，可得AC=BC，已知AE=BE，又由拋物線y₂=a₂x²+b₂x+c₂以點B為頂點且過點C，分別過點B、C作x軸的平行線，可證得四邊形ECFB為正方形；
②由拋物線y₁的解析式設(shè)出點A的坐標，再根據(jù)四邊形ECFB為正方形列出點A橫、縱坐標的關(guān)系式，以此確定點A的坐標．
（2）①由四邊形ECFB為正方形，可得CF=BF，又由C（0，1），可設(shè)B（x，x+1）且x＞0，繼而求得答案；
②將y₁的解析式寫成頂點式，即：y₁=-$\frac{1}{3}$（x-h）²+k，首先根據(jù)正方形的特點表達出點B的坐標，將點B的坐標代入拋物線y₁的解析式中，由此求得m的值；拋物線y₂以點B為頂點，可先寫成頂點式，再將點A的坐標代入其中來確定a₂的值．
（3）在（2）①的解答過程中，我們不難看出$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=m=-|$\frac{1}{{a}_{1}}$|，而$\frac{1}{2}$AB的長度正好是兩個拋物線對稱軸的差的絕對值，那么可以拿$\frac{1}{2}$CD的長來作為等量關(guān)系列出關(guān)系式，據(jù)此求得b₁、b₂的關(guān)系式．

解答 解：（1）①證明：∵AB∥x軸，
∴A、B關(guān)于y軸對稱，即AE=BE；
又∵AE=BF，
∵AB∥x軸，
∴∠ECF=90°，
∵BF⊥CD，
∴∠CFB=∠EBF=90°，
∴四邊形ECFB為矩形，
∴矩形ECFB為正方形；

 ②∵四邊形ECFB為正方形，
∴CF=BF，
設(shè)點B（x，x）且x＞0，
∴x=x²，
解得：x=1，
∴點B（1，1），
∴點A（-1，1）；

（2）①∵四邊形ECFB為正方形，
∴CF=BF，
∵C（0，1），
設(shè)B（x，x+1）且x＞0，
∴x+1=x²+1，
解得：x=1，
∴點B（1，2），
∴CF=1，
∴CD=2；

②設(shè)y₁=-$\frac{1}{3}{x^2}+{b_1}x+{c_1}$=-$\frac{1}{3}$（x-h）²+k，則C（h，k）、B（h+m，k+m），
∵B在y=-$\frac{1}{3}$（x-h）²+k上，
∴k+m=-$\frac{1}{3}$（h+m-h）²+k，
解得：m=-3，
∴B（h-3，k-3），
∴y₂=a₂x²+b₂x+c₂=a₂（x-h+3）²+k-3，
代入C（h，k），
∴k=a₂（h-h+3）²+k-3，
解得：a₂=$\frac{1}{3}$；

（3）由（2）②知，a₂=-a₁；
由（2）①知，$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CD=m=-|-$\frac{_{1}}{{2a}_{1}}$-（-$\frac{_{2}}{2{a}_{2}}$）|=-|$\frac{_{1}+_{2}}{2{a}_{1}}$|，
∵m=-|$\frac{1}{{a}_{1}}$|[由（2）可知]，
∴|$\frac{_{1}+_{2}}{2{a}_{1}}$|=|$\frac{1}{{a}_{1}}$|，
解得：b₁+b₂=±2，
∴b₁=-b₂+2或b₁=-b₂-2．

點評 此題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及正方形的判定與性質(zhì)．注意掌握二次函數(shù)的對稱性與點與坐標的關(guān)系是關(guān)鍵．