Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（0，2），⊙O與x軸交于點(diǎn)C（1，0），點(diǎn)F是⊙O 上的一動點(diǎn)，圓心角∠EOF=90°（其中E、O、F按逆時(shí)針方向排列）．
（1）求過點(diǎn)A、B、C的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）是否存在著點(diǎn)F（a，b）（a＞0），使得∠EAO=28°，請說明理由；
（3）若直線AE與拋物線的對稱軸m交于點(diǎn)D，記點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為y，求y的最大值；
（4）若直線AE與直線BF交于點(diǎn)H（m，n）、探究n的取值范圍（直接寫出答案）．

Answer 1

分析 （1）已知了拋物線上A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)F是⊙O 上的一動點(diǎn)，根據(jù)其運(yùn)動規(guī)律，點(diǎn)F（a，b）（a＞0），點(diǎn)E在第一，二象限，若F按逆時(shí)針運(yùn)動，∠EAO在逐漸增大，當(dāng)運(yùn)動至與過點(diǎn)A的切線的切點(diǎn)重合時(shí)，∠EAO=30°，∠EAO最大，存在著點(diǎn)F（a，b）（a＞0），使得∠EAO=28°；
（3）根據(jù)變化規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)M重合時(shí)，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)y最大，利用勾股定理即可得到結(jié)果；
（4）當(dāng)點(diǎn)F在x軸的負(fù)半軸時(shí)，點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸時(shí)，n值最小，直線AE與直線BF解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)，求的n=-$\frac{2}{5}$；當(dāng)點(diǎn)F在x軸的正半軸時(shí)，點(diǎn)E在y軸的正半軸，此時(shí)n值最大，n=$\frac{6}{5}$，∴$-\frac{2}{5}$≤n≤$\frac{6}{5}$

解答 解：（1）設(shè)該拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，
將A（-2，0），B（0，2），C（1，0）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{0=4a-2b+c}\\{2=c}\\{0=a+b+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴該拋物線的解析式為：y=-x²-x+2；

（2）存在．證明：點(diǎn)F（a，b）（a＞0），
點(diǎn)E在第一，二象限，若F按逆時(shí)針運(yùn)動，
∠EAO在逐漸增大，
過點(diǎn)A做⊙O的切線⊙O于點(diǎn)M，
E點(diǎn)與M點(diǎn)重合時(shí)，AO=2，OE=1，
∴∠EAO=30°，
∴存在著點(diǎn)F（a，b）（a＞0），使得∠EAO=28°；

（3）如圖，拋物線對稱軸為x=-$\frac{1}{2}$，
直線x=$-\frac{1}{2}$與圓相交于點(diǎn)M，
當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)M重合時(shí)，
點(diǎn)D的縱坐標(biāo)y最大為：
y=MN=$\sqrt{{OM}^{2}{-ON}^{2}}$=$\sqrt{\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴y最大值為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$；

（4）當(dāng)點(diǎn)F在x軸的負(fù)半軸時(shí)，點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸時(shí)，F(xiàn)（-1，0），E（0，-1），
設(shè)直線AE解析式為：y=kx+b，代入得$\left\{\begin{array}{l}{0=-2k+b}\\{-1=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直線AE解析式為：y=-$\frac{1}{2}x$-1，
設(shè)直線BF解析式為：y=kx+b，代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2=b}\\{0=-k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線BF解析式為：y=2x+2，
組方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-1}\\{y=2x+2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{6}{5}}\\{y=-\frac{2}{5}}\end{array}\right.$即n=$-\frac{2}{5}$，此時(shí)n最��；
當(dāng)點(diǎn)F在x軸的正半軸時(shí)，點(diǎn)E在y軸的正半軸時(shí)，F(xiàn)（1，0），E（0，1），
設(shè)直線AE解析式為：y=kx+b，代入得$\left\{\begin{array}{l}{0=-2k+b}\\{1=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線AE解析式為：y=$\frac{1}{2}x+1$，
設(shè)直線BF解析式為：y=kx+b，代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2=b}\\{0=k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線BF解析式為：y=-2x+2，
組方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y=-2x+2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{5}}\\{y=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，即n=$\frac{6}{5}$，此時(shí)n最大，
∴$-\frac{2}{5}$≤n≤$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求解析式，變化規(guī)律，數(shù)形結(jié)合，分析變化規(guī)率是解決此題的關(guān)鍵．