Question

6．在數(shù)學中，有許多關(guān)系都是在不經(jīng)意間被發(fā)現(xiàn)的．當然，沒有敏銳的觀察力是做不到的．數(shù)學家們往往是這樣來研究問題的：特值探究--猜想歸納--邏輯證明--總結(jié)應用．下面我們也來像數(shù)學家們那樣分四步找出這兩個代數(shù)式的關(guān)系：對于代數(shù)式（a+b）（a-b）與a²-b²．
（1）特值探究：
當a=2，b=0時，（a+b）（a-b）=4；a²-b²=4
當a=-5，b=3時，（a+b）（a-b）=16；a²-b²=16
（2）猜想歸納：
觀察（1）的結(jié)果，寫出（a+b）（a-b）與a²-b²的關(guān)系：（a+b）（a-b）=a²-b²．
（3）邏輯證明：如圖，邊長為a的正方形紙片剪出一個邊長為b的小正方形之后，剩余部分（即陰影部分）又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），請你說說是如何用這個圖來得出（2）中的關(guān)系？
（4）總結(jié)應用：利用你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系，求：
①若a²-b²=6，且a+b=2，則a-b=3；
②（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）的值．（提示：你可能要用到公式（a^m）ⁿ=a^mn）

Answer 1

分析 （1）把a與b的值代入兩式計算即可得到結(jié)果；
（2）歸納總結(jié)得出關(guān)系即可；
（3）根據(jù)陰影部分面積不變，驗證即可；
（4）①利用平方差公式計算即可得到結(jié)果；
②原式變形后，利用平方差公式計算即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）特值探究：
當a=2，b=0時，（a+b）（a-b）=4；a²-b²=4；
當a=-5，b=3時，（a+b）（a-b）=16；a²-b²=16；
（2）猜想歸納：
觀察（1）的結(jié)果，寫出（a+b）（a-b）與a²-b²的關(guān)系：（a+b）（a-b）=a²-b²；
（3）邏輯證明：如圖，邊長為a的正方形紙片剪出一個邊長為b的小正方形之后，剩余部分（即陰影部分）又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），
左圖中陰影部分面積為a²-b²；右圖陰影部分面積為（a+b）（a-b），故（a+b）（a-b）=a²-b²；
（4）總結(jié)應用：利用你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系，求：
①若a²-b²=（a+b）（a-b）=6，且a+b=2，則a-b=3；
②原式=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）
=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）
=（2⁸-1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）
=（2¹⁶-1）（2¹⁶+1）
=2³²-1．
故答案為：（1）4；4；16；16；（2）（a+b）（a-b）=a²-b²；（4）①3

點評 此題考查了代數(shù)式求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．