Question

2．如圖，在正方形ABCD中，E為BC邊上一點，連結(jié)AE．已知AB=8，CE=2，F(xiàn)是線段AE上一動點．若BF的延長線交正方形ABCD的一邊于點G，且滿足AE=BG，則$\frac{BF}{FG}$的值為1或$\frac{12}{13}$．

Answer 1

分析 分兩種情形：①當(dāng)G在AD邊上時，②當(dāng)G′在CD上時分別求解即可；

解答 解：①當(dāng)G在AD邊上時，∵AE=BG，AB=AB，∠BAG=∠ABE=90°，
∴△ABG≌△BAE，
∴AG=BE，
∵AG∥BE，
∴$\frac{BF}{FG}$=$\frac{BE}{AG}$=1．
②當(dāng)G′在CD上時，易證△ABE≌△BCG′，
∴∠BAE=∠CBG′，
∵∠CBG′+∠ABF′=90°，
∴∠BAE+∠ABF′=90°，
∴∠AF′B=90°，
∴BG′⊥AE，
∵AB=8．BE=6，
∴AE=BG′=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵$\frac{1}{2}$•AB•BE=$\frac{1}{2}$•AE•BF′，
∴BF′=$\frac{24}{5}$，F(xiàn)′G′=10-$\frac{24}{5}$=$\frac{26}{5}$，
∴$\frac{BF′}{F′G′}$=$\frac{\frac{24}{5}}{\frac{26}{5}}$=$\frac{12}{13}$
故答案為1或$\frac{12}{13}$．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．