Question

16．如圖，直線l：y=kx+b（k＜0）與函數(shù)y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象相交于A、C兩點，與x軸相交于T點，過A、C兩點作x軸的垂線，垂足分別為B、D，過A、C兩點作y軸的垂線，垂足分別為E、F；直線AE與CD相交于點P，連接DE．設(shè)A、C兩點的坐標分別為（a，$\frac{4}{a}$）、（c，$\frac{4}{c}$），其中a＞c＞0．
（1）如圖①，求證：∠EDP=∠ACP；
（2）如圖②，若A、D、E、C四點在同一圓周上，求k的值；
（3）如圖③，已知c=1，且點P在直線BF上，試問：在線段AT上是否存在點M，使得OM⊥AM？如存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由P、E、D的坐標可表示出PA、EP、PC和DP的長，可證明△EPD∽△CPA，利用相似三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論；
（2）連接AD、EC，可證明△AEC≌△CDA，可得CD=AE，把A、C坐標代入直線l解析式，可求得k的值；
（3）假設(shè)在線段AT上存在點M，使得OM⊥AM，連接OM、OA，可表示出C、F、P、B的坐標，利用直線BF的解析式可求得a的值，可求得A點坐標，可求得T點坐標，在△OAT中，利用等積法可求得OM的長，在RtOMT中可求得MT的長，作MN⊥x軸，同理可求得MN的長，則可求得ON的長，可判斷N在線段BT上，滿足條件，從而可知存在滿足條件的M點．

解答 （1）證明：
由題意可知P（c，$\frac{4}{c}$），E（0，$\frac{4}{a}$），D（c，0），
∴PA=a-c，EP=c，PC=$\frac{4}{c}$-$\frac{4}{a}$=$\frac{4（a-c）}{ac}$，DP=$\frac{4}{a}$，
∴$\frac{EP}{PA}$=$\frac{c}{a-c}$=$\frac{DP}{PC}$，且∠EPD=∠APC，
∴△EPD∽△CPA，
∴∠EDP=∠ACP；
（2）解：如圖1，連接AD、EC，

由（1）可知DE∥AC，
∴∠DEC+∠ECA=180°，
∵A、D、E、C四點在同圓周上，
∴∠DEC+∠DAC=180°，
∴∠ECA=∠DAC，
在△AEC和△CDA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECA=∠DAC}\\{∠AEC=∠CDA}\\{AC=CA}\end{array}\right.$
∴△AEC≌△CDA（AAS），
∴CD=AE，即a=$\frac{4}{c}$，可得ac=4，
∵A、C在直線l上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{ka+b=\frac{4}{a}}\\{kc+b=\frac{4}{c}}\end{array}\right.$，解得k=$\frac{\frac{4}{a}-\frac{4}{c}}{a-c}$=-$\frac{4}{ac}$=-1；

（3）假設(shè)在線段AT上存在點M，使OM⊥AM，連接OM、OA，作MN⊥x軸于點N，如圖2，

∵c=1，
∴C（1，4），F(xiàn)（0，4），P（1，$\frac{4}{a}$），B（a，0），
設(shè)直線BF的解析式為y=k′x+4，由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{k′a+4=0}\\{k′+4=\frac{4}{a}}\end{array}\right.$，解得a=2，
∴A（2，2），
∴AP為△DCT的中位線，
∴T（3，0），
∴AT=$\sqrt{（3-1）^{2}+（0-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$
∵S_△OAT=$\frac{1}{2}$OT•AB=$\frac{1}{2}$AT•OM，
∴OM=$\frac{OT•AB}{AT}$=$\frac{3×2}{\sqrt{5}}$=$\frac{6}{\sqrt{5}}$，
在Rt△OMT中，MT=$\sqrt{O{T}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-\frac{36}{5}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
同理可求得MN=$\frac{OM•MT}{OT}$=$\frac{6}{5}$，
在Rt△OMN中，ON=$\sqrt{O{M}^{2}-M{N}^{2}}$=$\sqrt{\frac{36}{5}-\frac{36}{25}}$=$\frac{12}{5}$，
∵2＜$\frac{12}{5}$＜3，
∴點M在線段AT上，
即在線段AT上存在點M，使得OM⊥AM，M點的坐標為（$\frac{12}{5}$，$\frac{6}{5}$）．

點評 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、圓的性質(zhì)、勾股定理、等積法等知識．在（1）中證得△EPD∽△CPA是解題的關(guān)鍵，在（2）中構(gòu)造全等三角形，求得ac=4是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得A點坐標，再分別求得OM和ON的長是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，計算量較大，難度適中．