Question

16．如圖，已知二次函數(shù)y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}x$+4的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接AC．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0）；
（2）將△AOC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△PMN，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P點(diǎn)，判斷點(diǎn)P是否在該拋物線上；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)E，使得△EDC的面積為△OAC面積的$\frac{5}{8}$？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A、C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得M點(diǎn)、P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)代入法將P點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得答案；
（3）根據(jù)三角形的面積，可得E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}x$+4=0，
解得x₁=8，x₂=-2（不符合題意的解要舍去），即C（8，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=4，即A（0，4），
故答案為：（0，4），（8，0）；
（2）如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得
DM=OD=3，DM⊥x軸，即M（3，3），
MP=OA=4，4+3=7，即P（7，3），
當(dāng)x=7時(shí)，y=-$\frac{1}{4}$×7²+$\frac{3}{2}$×7+4=2≠3，
P點(diǎn)不在拋物線的圖象上；
（3）OA=4，OC=8，DC=8-4=4，
S_△AOC=$\frac{1}{2}$OA•OC=$\frac{1}{2}$×8×4=16，
S_△EDC=$\frac{1}{2}$DC•|y_E|=$\frac{5}{8}$×S_△AOC=10，
|y_E|=4，
解得y=4或y=-4，
當(dāng)y=4時(shí)，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}x$+4=4，化簡(jiǎn)得x²-6x=0，解得x₁=6，x₂=0，即E₁（6，4），E₂（0，4）；
當(dāng)y=-4時(shí)，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}x$+4=-4，化簡(jiǎn)，得x²-6x-32=0，解得x₁=3+$\sqrt{41}$，x₂=3-$\sqrt{41}$，即E₃（3+$\sqrt{41}$，-4），E₄（3-$\sqrt{41}$，-4），
綜上所述：E₁（6，4），E₂（0，4）；E₃（3+$\sqrt{41}$，-4），E₄（3-$\sqrt{41}$，-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出P點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵，又利用了點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式點(diǎn)在函數(shù)圖象上；（3）利用三角形的面積的出關(guān)x的方程是解題關(guān)鍵．